范畴论下量子力学的范式转换

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History

用偏序集描述量子力学中的范式转换

本文从范畴论的角度梳理了量子力学发展的三个范式阶段：前范式时期，矩阵力学与波动力学对立时期，统一理论时期。细节的范式转换被表示在上面这幅图中，可以看出整个范式转换可以被偏序集刻画的。

早期量子论

在量子力学建立二十余年之前，随着赫兹证明了电磁波的存在与玻尔兹曼建立统计物理学，整个物理学形成了一套自洽的体系。以经典力学，经典电磁理论与经典热力学，统计物理学三大学科作为支柱的物理学，已经能够解释现实世界中几乎一切现象。在这样的背景下，1900年，开尔文勋爵做了一篇著名的关于未来物理学展望的报告：《在热和光动力理论上空的19世纪乌云》。在这篇报告中，开尔文勋爵提到了当时物理学界运用已有的知识无法解决的两大问题，并将其称为两朵乌云。这两朵乌云一是迈克尔逊-莫雷实验所测得的地球相对以太速度为零，二是黑体辐射理论与实验的不一致。这两个问题直接引发了二十世纪物理理论的革命。第一个问题导致了狭义相对论的诞生，而第二个问题导致了量子力学的建立。 {{#ev:youtube|https://www.youtube.com/watch?v=i1TVZIBj7UA%7C%7C%7C%7C%7Cstart=0&end=259}}

下面这个页面展示了经典物理学面临的危机。从而引发科学革命的范式转换。

Paradigm shift

新的问题

除此之外，崭新的量子论面临着更大的问题。。1925年，为了解释谱线在在弱磁场下的一种复杂分裂——“反常塞曼效应”，科学家提出了电子自旋理论，然而这种理论要求引入一个1/2的量子数，这是玻尔模型所没有给出预测的。同时，玻尔也发现了他的理论只能解决单电子的原子，如氢原子，一级电离的氦原子。然而，对多电子原子，玻尔模型无法给出任何有用的结论。

玻尔是立足于经典物理理论建立原子模型的。在从经典到量子的转化过程中，玻尔理论不能解释为何在宏观条件下成立的经典理论，在围观的原子层面就必须加入量子化的条件。玻尔的理论终究只是经典理论向量子模型所做出的妥协。实验表明，旧量子论这一基于经典理论的修正无法解释所有的物理现象，物理学必须要有一个崭新的范式作为基石继续前进。

量子体系的完善

在第一部分中，我们讲述了量子力学出现的背景和早期量子论的种种尝试，但是诸如玻尔原子模型这样的理论是很难作为一个新的范式而指导下一个阶段的研究工作的，因为它还不够成熟，过多的应用了一些强制的“规定”，给电子赋予了过多的“特有性质”而失去了一般性。在这一部分中，我们将详细的研究科学家们是如何建立一个相对完善的体系的。

（1）矩阵力学的建立

德布罗意在了解玻尔原子模型之后企图通过引入一种周期性来解释角动量量子化。在1919-1921年，布里渊曾发表过一系列论文，阐述了电子在运动时激发周围的以太形成的一种波动。德布罗意没有从以太的角度出发而结合了相对论，将粒子从波的角度考虑，得到：

                                  $\nu ={\frac {mc^{2}}{h}}\ \ \ \ \ \ \lambda ={\frac {h}{p}}$ 

并且大胆预言，电子存在一个内禀的频率，在运动时会伴随一个波，这个波的波速为：${\frac {c^{2}}{v_{0}}}$

不难发现这个速度是有可能大于光速的，但是由于这个波不携带能量和信息，因此不违反相对论。德布罗意大胆的预言在1927年被戴维逊和革末所证实，他们在用电子束轰击金属镍时得到了与x射线衍射几乎一样的结果，从而证明了电子的波动性。

电子波动性的证实使得危机空前严重，也进一步推动了革命的进行。1920年海森堡开始研究反常塞曼效应并提出半整数量子数的解释，当时并未得到认可。1924-1925年间，他加入了克拉摩斯研究色散理论的团队，他发现原子理论中的轨道应当被一种更好的观点所代替，与此同时，他的研究方式开始脱离开物理模型而直接建立数学模型。

1925年海森堡开始研究氢原子光谱的问题，他受到BKS理论和玻尔对应理论的影响，确立了研究的出发点：“物理学应当从一些可以直接被实验观察和检验的物理量出发 ”，由此他放弃了轨道等经典概念来想象原子，只把光谱提供的具体数据作为工作对象，他提出了一种“表格”式的数学规则来表示原子吸收、发射辐射的过程。在把他的研究成果和玻恩交流后，玻恩才意识到这种“表格”就是已经被数学家所发明的矩阵。1925年9月，海森堡在《物理学报》上论文的发表，标志着矩阵力学的建立，同时由于他的理论物理意义不够清晰，因此并没能得到很多人的认可。在此之后，狄拉克发现用泊松括号[x,y]作用于经典哈密顿函数上，就得到了和海森堡矩阵形式完全一样的结论。3个月之后，海森堡用矩阵处理了自旋问题，很好的得到了半整数量子数的结果，并且将自旋作为电子的一种属性，避免了自旋经典解释中的种种问题。至此，一个新的研究范式已经初步建成。

（2）波动力学的建立

薛定谔于1922年开始在苏黎世大学任教，在1925年的大部分时间里，他仍在研究理想气体的量子统计问题，在与爱因斯坦的来往中得知了德布罗意的论文。他认为德布罗意在对量子规则的解释上与自己有相同之处。在德拜主持的一个讨论会上，薛定谔做了一个漂亮的报告，清晰地阐述了德布罗意如何给粒子配上一列波，德拜对于他只用几何图像来解释量子规则感到不满，德拜认为“讨论波的性质，必须要有一个波动方程”，从而促使薛定谔着手于研究波动方程。

薛定谔最先着手于相对论性波动方程的研究，但结果与索末菲方程不一致因此失败。1926年初，他开始考虑非相对论性的波动方程，不到半年，就在Annalen der Physik杂志上发表了Quantisierung als Eigenw ertproblem第一、二、三、四部分论文，奠定了波动力学的基础。

薛定谔通过对经典哈密顿-雅可比方程进行一个变量代换并对空间做积分变分，从而得到了一个波动方程，也就是定态的薛定谔方程。

在第一部分论文中，对于氢原子求解了本征值，得到了角向是球谐函数，径向与玻尔原子论符合的很好。在后续的几篇文章中，又成功地把波动理论推广到了含时微扰并解决了色散问题，得到了一般形式下的波动方程。

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（3）不确定性

海森堡所使用的矩阵存在一个独特的性质，即矩阵的乘）法一般情况下是不可交换的即

                        $p\times q\neq q\times p$

这也就说明，位置（矩阵）乘以动量（矩阵）不等于动量（矩阵）乘以位置（矩阵），这促使海森堡意识到任意两个不对易的物理量之间的测量顺序会影响测量结果，也就是说p和q会相互影响，即存在一种不确定性关系（Uncertain Principle）

                     $\Delta p\Delta q\geq {\frac {\hbar }{2}}$

这并非由于仪器的误差导致，而是粒子本身的性质所导致的

矩阵形式和波动形式的统一

两种形式的争论

在1926年薛定谔发表四部分文章的间隙中就已经证明了两种表述形式在数学上的一致性，同一时期，泡利，约尔当也各自证明了其等价性。但是两种竞争着的范式并没有因此而统一，争论还在进行。作为理论在数学上已经统一，但作为两种范式，在物理图像和对物理现象的解释上还存在巨大的分歧，也就是说还是不可通约的。回顾这两个范式在刚刚诞生时期的状况，矩阵力学直接以可观测的量为基础，强调数学导向而非经验式的构建物理图像，在解释自旋等问题上有很出色的表现，但是由于矩阵形式的晦涩和物理图像不清晰，没有得到大多数科学家的追随。波动力学从德布罗意理论出发，由于其数学形式接近于经典，因此得到了大多数科学家的追随，但是同样面临着物理意义不清晰的问题，在很长一段时间内都无法解释$\psi$的物理含义，只能含糊其词为一种尚没有观测到的分布。更严重的问题在于波恩在解释$\psi$的物理意义时引入了概率，坍缩等一系列与经典格格不入的概念，因而招致了爱因斯坦等科学家甚至是薛定谔本人的反对，这一部分将在后续进一步讨论。

电子双缝实验

量子力学的发展

对量子现象的解释

随着矩阵力学和波动力学的统一、不确定性关系的提出和互补原理的提出，量子力学完善的范式已经基本建成，但新的危机立刻就产生了，即如何对复杂的理论加以物理图像上的清晰的解释。较为主流的一个学派是以不确定性和互补原理为主要理论，对量子现象加以概率解释的“哥本哈根”解释，这一解释的拥护者主要有玻尔、海森堡、泡利、约尔当等人。这一解释体系最大的反对者是保守地相信经典物理因果律关系的学派，以爱因斯坦为领导。值得一提，薛定谔虽然是波动力学的奠基人，但是他却不相信概率解释，而是因果律的坚定拥护者。

由于哥本哈根解释是目前比较主流的一种解释，因此本文将以之为主体来讲述因果律派与哥本哈根派的争论过程，并在最后介绍几种其它的量子现象的解释。下面这个视频讲述了哥本哈根学派的诞生

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（1）哥本哈根解释的基本内容

哥本哈根解释是以不确定性原理、互补原理和概率解释三者为主体所建立的。不确定性原理和互补原理表明，一个微观客体展现出什么样的性质是由我们以何种方式观测它所决定的，也就是说单独去谈论一个微观客体具有什么样的性质是没有意义的。这样的解释推翻了经典物理中的完全客观性。一个体系可以完全由波函数描述，在没有对一个量子体系观测的时候，量子体系按照薛定谔方程发展演化，这时候的体系是多个状态的叠加态，当我们对体系进行观测，波函数发生了坍缩，坍缩的过程具有随机性和不可逆性，也就是说体系从多个状态的叠加态变成了一个确定的状态。对于薛定谔方程中$\varphi$的意义，哥本哈根派不认为波函数有除了抽象的概念以外的任何真实存在，也就是说波函数不代表一个实体，当波函数按照一定的概率坍缩之后才能够代表一个实体。如果去探究在观测之前、坍缩之前的电子是什么状态、在哪个位置，哥本哈根解释中最不可思议的地方就展现出来：在观测（也就是波函数坍缩）之前，电子是没有意义的，不具有客观性和实在性，也就是说，真实存在的不是电子，而是“观测者观测电子”这一相互作用。

（2）爱因斯坦的观点

爱因斯坦反对哥本哈根解释的主要原因有以下两点：

一方面，爱因斯坦相信因果律在物理学中是根本性的原理，而波函数根据概率分布坍缩这一过程体现了强烈的随机性和不可逆性，这和爱因斯坦所在的研究范式的不可通约的。

另一方面，电子坍缩这一过程意味着电子可以在很短的时间内改变自己的位置（这也是不确定性原理所告诉我们的），在量子纠缠中也似乎存在违反定域性的现象，这似乎代表着一种超距作用，这是不符合相对论的。

玻尔-爱因斯坦的伟大辩论

这一阶段爱因斯坦和玻尔的争论是物理学史上最著名的辩论之一,从1927年第五届索尔维会议开始，两位科学家一直在进行关于量子体系完备性的争论。接下来这一部分将给出几个例子来构建争论的过程和量子力学体系的进一步完善。这些例子不仅体现了物理学家敏锐的洞察力和犀利的思维，也能够很好的诠释库恩的理论——范式具有不可通约性、在新的范式面前，很少有科学家能够由旧的范式“改宗”至新的范式。

下面，通过几个例子来展现物理学史上最伟大的思想碰撞

Some interesting thought experiments

贝尔不等式

定域性的范畴表述

再次思考EPRB佯谬，虽然哥本哈根解释已经很好的处理了“信息超光速传递”这一问题，但是仍然无法否定隐变量假说，即无法找到那个控制着粒子坍缩的隐变量，也无法否定它的存在。英国物理学家约翰·贝尔的学生时期玻尔的量子论已经占据了物理学主流的地位，但贝尔更愿意相信波姆对EPR佯谬的化简以及他提出的隐变量假说，因此贝尔致力于设计一套实验，可以证明量子坍缩过程确实是由隐变量控制的。

（1）贝尔理论的提出

贝尔在1964年发表的一篇论文中系统的讲述了他的理论：同样考虑一对自旋为1/2的粒子A和B，由于守恒律，，二者自旋方向相反。贝尔选择在不同的方向（沿xyz三个方向）测量自旋为正或为负。用A_x为正来表示在x轴上观测到A粒子自旋为正，用$P_{xy}$来表示$A_{x}$为正和$B_{y}$为正的相关性，并给出贝尔不等式：

                               $\left|P_{xy}-P_{zy}\right|\leq 1+P_{xy}$

这是一个对xyz三个方向上观测的相关性的约束，如果这个不等式成立，则表明量子现象是由某个或是某些变量所控制的。贝尔从定域实在性出发，推导出这个不等式的成立，并且给出结论：某些理论为了确定单独测量的结果，严格要求将额外参数加入量子力学，并且要求这动作不改变统计预测。对于这些理论，必定存在一种机制，使得一台测量仪器的运作设定值的改变，会影响到另一台仪器的读数，且这种影响必须瞬间传达，这不符合洛伦兹不变性。

（2）关于验证贝尔不等式的实验

贝尔不等式最伟大的地方不在于从定域实在性推出的种种结论，而在于可以用实验验证不等式是否成立，从而彻底的对隐变量假说做出判断。

1982年，阿兹派克特（A·Aspect）小组第一次对EPR问题进行精确检验。他们激发钙原子产生激光并将一对光子引导至相距12米的距离，在这个距离上以光速传递信号的时间差约为40ns，控制一对偏振片不断改变方向。通过测量光子不同方向的相关性来检验贝尔不等式是否成立。实验结果表明，贝尔不等式不成立，隐变量假说几乎被否定。

但是上述实验仍然存在两个漏洞，首先是定域性漏洞，即两个光子相距不够远，有可能产生光速以内的信号传递，另一个是测量漏洞，受限于光子探测器的效率（约为82.8%），存在测量上的误差。直到2015年，荷兰Delft技术大学的B·Henson研究组在Nature上发表一篇论文，报道了他们利用金刚石色心完成了无漏洞的贝尔不等式验证实验，他们将光子移动到相距1.3km的两个实验室，并将探测效率提升至接近100%。实验结果依然表明贝尔不等式不成立，从而证伪了定域隐变量假说。根据误差理论分析，实验结果置信度达到96%。这个实验依然存在一些小的不足，例如置信度不够高，测量方向的选择是利用随机数发生器产生的并非完全随机等。要解决这些问题，需要利用人的反应来决定测量方向，也许要更远的实验距离，例如在地月之间进行实验。不过，总的来说，贝尔不等式的验证实验可以基本彻底证伪定域隐变量假说，即在量子力学中，定域实在性是不完全的。

新的解释

下面这个视频展示了哥本哈根学派和多宇宙学派的观点 {{#ev:youtube|https://www.youtube.com/watch?v=OjrEudqgZ1M%7C%7C%7C%7C%7Cstart=0&end=864}} 下面这个页面展示了更多解释

more explanation

强弱电的统一

1926年提出的薛定谔方程是非相对论的，在方程中没有考虑速度的上限。科学家们很自然地想要把这个量子力学的基础与相对论相联系，使量子力学与相对论成为一个兼容的体系。量子力学与狭义相对论的统一在次年很快就由狄拉克方程所完成，在此基础上建立起来的量子场论(QFT)成为一套结合了量子力学，狭义相对论和经典场论的一套自洽的理论。

20世纪20年代，电磁场是唯一已知的经典场，因此基于量子场论，物理学家开始期望统一量子力学与电动力学。在1927年的一篇论文中，狄拉克首先用到了“量子电动力学”一词。他将真空中的场视作一组量子谐振子，将电磁场，带电粒子与两者间的耦合项共同考虑，成功解释了自发发射，光子散射等现象。量子电动力学认为，两个电荷之间的作用力来源于交换光子。在此框架下，理论预言了反物质的存在，这个预言也在1932年为安德森(Carl Anderson)的实验所证实。然而，在处理氢原子外电子轨道的问题时，理论计算与实验结果存在微小的偏差。为了使理论计算更加精确，物理学家对狄拉克的计算添加了许多微扰项，但是对微扰项进行的任何数学处理最终都会使最终结果趋向无穷大。也就是说，狄拉克的量子电动力学是一个不稳定的模型。在1950年，三组科学家（朱利安·施温格、费曼、弗里曼·戴森和朝永振一郎）分别独立地提出了解决无穷大发散问题的方法。他们采取了一种被称为“重整化”(Renormalization)的方法，对微扰项进行了修正。修正后的计算结果和高精度实验之间的吻合程度在当时是空前的。重整化成功攻破了量子电动力学中无限大的难题。

在强相互作用力和弱相互作用力被发现后，它们也迅速与量子力学成功交融。1935年，日本物理学家汤川秀树预言，强相互作用力是因为核子交换一种新粒子——介子(meson)而产生的。这种粒子后来被命名为π子，1947年为鲍威尔(Cecil Frank Powell)所发现。1954年，杨振宁和罗伯特·米尔斯对量子电动力学进行推广，从纯理论的角度建立了更复杂的杨-米尔斯理论。这个划时代的理论发现成功导出了量子色动力学以描述强相互作用力。这个名称来源于每种夸克具有不同的“味道”，更有不同的“颜色”。1961年，谢尔登·格拉肖将弱相互作用力和电磁力统一起来考虑，发现电弱相互作用。 1967年，史蒂文·温伯格和阿卜杜勒·萨拉姆将电弱统一理论建立在了杨-米尔斯场论的基础之上，从而得到了一个完美而自洽的理论。与此同时，用于描述所有物质基本粒子的标准模型建成。标准模型中预言的共61种基本粒子，在20世纪中叶后逐渐被实验所证实。2012年，欧洲核子研究组织的大型强子对撞机发现了最后一种基本粒子——希格斯玻色子，宣告标准粒子模型的正确。

至此，四大基本力中的电磁力，强力，弱力均被统一在了量子力学旗下。这种统一了三种基本作用力的理论被称为 “大统一理论”Grand Unified Theory。

超弦理论

{{#ev:youtube|https://www.youtube.com/watch?v=Da-2h2B4faU%7C%7C%7C%7C%7Cstart=0&end=480}} 在大统一理论的框架下三种基本作用力得到了统一，但是引力未能纳入统一的理论中，量子力学与广义相对论间的矛盾之处也没有得到调和（在物理本质上两者是相同的）。爱因斯坦晚年一直在进行将四种基本作用力全部统一的尝试，但均以失败告终。

在现有的理论中，最有希望解决这一问题的是发展中的超弦理论。弦论的起点源自意大利物理学家Gabriele Veneziano，他于1968年发现弦图可以描述强相互作用粒子的相互作用，并由此奠定了弦论的基础。用这个模型来描述粒子时等效于描述一根在十维时空中振动的弦，弦的不同振动方式在四维时空中就对应了不同的基本粒子。1971年，物理学家将“超对称”模型引入弦论时发现，弦论所预言的一种全新粒子符合广义相对论，这种粒子能够解释引力的成因。最终，物理学家经过筛查得到了五种自洽的超弦理论。由于无法用实验确定哪种理论是正确的，弦论的发展暂时趋于停滞。

直到1995年，美国科学家爱德华·威腾提出，如果将五种超弦理论中的一个耦合系数放大，最终会出现一个新的维度。而与此同时，五种理论会趋于一体。换言之，之前科学家发现的五种弦理论本质上是相同的，它们是一个更为基本的理论在不同状况下的极限。5种超弦就都被包容在一个统一的图像中，这个统一的理论被称为“M理论”。M理论也被视为最有可能的终极理论。

然而根据弦论，弦的长度非常小，要使如此微观的结构暴露出来，需要现今人类所无法获得的极高能量，迄今为止尚未有实验数据能够证实或证伪超弦理论与M理论。

范畴论意义下的量子信息

在考虑量子信息时，我们考虑右边这样一幅图

纵向表示时间，横向表示空间。量子信息关心的“时间”和“空间”是什么？“空间”，也就是想表达，Alice和Bob的操作是只影响他们自己的系统，还是整个系统；“时间”就是想表达，操作的先后关系。所以真正重要的只是这个图的连通结构。这和时空锥所描述的是一致的。

可以将时间轴上的线段看成恒等态射，空间轴上并排可以由张量积描述，这是一个幺半范畴。

范畴的基本组成

范畴的基本组成是对象和它们间的态射，态射自然有结合律，也自然地有对象到自身的恒等态射，事实上这个态射正可以看作对象本身。范畴能涵盖的事物广若天际：可以是数学中的结构与保结构映射，可以是物理系统与过程，可以是数据类型与算法，可以是逻辑命题与蕴含。

最简单的自然是由集合与函数组成的范畴Set，如果将它看作物理系统，那么完全是经典的，因为对一个$a\in A$，函数$f$只选择相应的一个$f(a)\in B$，这就相当于，$A$中的一个元素确定地演化成$B$中的一个元素。定义两个集合之间的多个元素与多个元素之间的关系$A\to B$，这同矩阵的乘法规则是一样的，我们当然可以用矩阵乘法来表述

这样就将关系从一维变成了多维

幺半范畴带上了张量积$\otimes$，这样就能描述并排的，而不只是依次发生的过程。一个很自然的问题：$(A\otimes B)\otimes C$和 $A\otimes (B\otimes C)$是什么关系？物理上显然是一回事，不过我们知道，如果$\otimes$是Hilbert空间上的张量积，那严格来说并不相等，只是同构，不过在范畴论中这就够了。

张量积的运算满足下面的三角形和五边形法则

态射和对象

在范畴论中，我们要用态射来想问题，忘记对象。于是对象$A$的态定义成态射$A\to I$，这其实就是让系统$A$从什么都没有中出现。为了强调态的定义域是$I$，我们用三角形表示它： 为什么纠缠是量子力学中才有的东西？不妨想一下完全经典的Set，它的张量积就是直积，那么在张量积空间中根本不可能有无法表示成张量积的态。而在半经典的Rel中，张量积比直积要满足更多的条件，纠缠态是存在的。更多物理的讨论在[[1]]中

结语—范式转换与范畴论

量子力学自诞生至今一百余年，已经发展为最成功的理论体系之一，经历三个大的时期，十几个范式的转换，根据上文的描述，量子力学范式转换被表示为这样一张有向箭头图。量子力学范式转换的根本动力是不断观测到新的现象，在几十年的发展后量子力学最终形成了完整的理论，正如最后一部分所讲这个理论的核心也是范畴论——即单子和单子、系统和系统之间的有向关系。

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