G COUNTING 6 : Fraction

Gasing Counting Introduction

Matematika selama ini telah menjadi mata pelajaran yang ditakuti banyak siswa. Siswa kesulitan ketika mengerjakan soal-soal matematika karena lemahnya kemampuan konsep matematika mereka. Untuk itu diperlukan suatu cara agar siswa tertarik dengan matematika dan dapat belajar matematika dengan mudah.

Oleh karena itu Prof.Yohanes Surya, Ph.D di Surya Institute mengembangkan metode pembelajaran matematika yang dinamakan metode Gasing (GAmpang, aSyIk, MenyenaNGkan). Pembelajaran Matematika Gasing dibuat secara bertahap, bertingkat dan berlanjut, dari konsep yang termudah hingga tersulit. Dengan cara ini siswa lebih mudah memahami matematika dan menemukan sendiri “AHA”-nya. Lewat metode Gasing ini diharapkan jutaan anak-anak Indonesia menjadi pandai berhitung dan tidak lagi takut dengan matematika.

Modul pertama ini disusun untuk memberi bimbingan pada orangtua atau pendidik bagaimana mengajar berhitung GASING yang meliputi BAKAL KUBAGI (penjumlahan atau penamBAhan, perKALian, pengurangan atau KUrang dan pemBAGIan). Pada Modul kedua nanti kita akan belajar GASING untuk materi PEDE (PEcahan dan DEsimal). Seorang yang mampu menguasai BAKAL KUBAGI PEDE akan mampu belajar matematika dengan sangat mudah.

Ucapan terima kasih tak lupa kami sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu terselesaikannya modul ini. Akhirnya, saran dan masukan berkaitan dengan modul ini dapat disampaikan kepada penyusun melalui situs Kandel.

Tim Penyusun

Meaning GASING

Arti Metode GASING

Metode adalah cara (langkah demi langkah) untuk mencapai suatu hasil. GASING adalah GAmpang, aSIk, dan menyenaNGkan. Jadi Metode GASING berhitung adalah langkah demi langkah pembelajaran berhitung secara gampang, asik dan menyenangkan.

Pembelajaran Berhitung Gasing dibuat berurutan dari konsep yang termudah hingga tersulit sehingga siswa dapat dengan mudah memahami matematika dan menemukan sendiri “AHA”-nya.

Beberapa hal penting dalam metode Gasing

• Konkret - Abstrak

Setiap materi pembelajaran Gasing selalu dimulai dengan sesuatu yang kongkret, sesuatu yang mudah divisualisasikan. Hal yang konkret ini membuat siswa lebih mudah mengerti. Tanpa bisa membayangkan lebih sulit bagi siswa untuk belajar suatu mata pelajaran.

Misalnya seorang berkata cinq + vier = enea. Sulit bagi kita mengingat atau mengerti maksudnya. Tetapi kalau ia menunjukan jari 5 sambil berkata cinq (bahasa perancis), lalu menunjukan jari 4 sambil berkata vier (bahasa Jerman) dan menunjukan hasilnya adalah sembilan jari sambil berkata enea (bahasa yunani), maka siswa bisa mengerti lebih mudah.

Setelah belajar kongkretnya, kita mengajarkan abstraknya, misalnya 5 + 4 = 9.

• Mencongak

Perhitungan dengan metode Gasing sebagian besar dilakukan dengan mencongak. Mencongak bukan berarti menghafal, tetapi mengerti sehingga mampu melakukan perhitungan secara mencogak.

Misalnya 19 x 3 sama dengan 1 puluhan x 3 satuan hasilnya adalah 3 puluhan, kemudian 9 satuan dikali 3 satuan hasilnya adalah 27 satuan yang merupakan 2 puluhan dan 7 satuan. Puluhannya digabung menjadi 3 + 2 = 5. Satuannya tetap 7. Sehingga hasilnya adalah 57.

Agar lebih mudah menghitung secara mencongak maka perhitungan BAKAL KUBAGI selalu dimulai dari kiri ke kanan bukan dari kanan ke kiri seperti yang selama ini kita ajarkan.

• Bertahap

Belajar Gasing adalah belajar setahap demi setahap. Misalnya untuk menguasai penjumlahan 5 digit dengan 5 digit tahapan yang perlu dilakukan adalah

• • menguasai arti bilangan 1-5
  • menguasai penjumlahan yang hasilnya 2 sampai 5
  • menguasai arti bilangan 6 - 10
  • menguasai penjumlahan yang hasilnya 6 sampai 10
  • dst

• Bertingkat

Disamping bertahap, pembelajaran Gasing dibuat bertingkat. Tingkat pertama adalah Penjumlahan. Setelah menguasai penjumlahan, siswa baru bisa masuk ke perkalian. Kita tidak bisa mengajarkan perkalian tanpa lewat penjumlahan. Demikian juga pengurangan dapat dipelajari kalau sudah menguasai penjumlahan. Pembagian hanya dapat dikuasai setelah menguasai penjumlahan, perkalian dan pengurangan. Tingkatan-tingkatan yang akan kita pelajari dalam berhitung ini adalah

• • Penjumlahan
  • Perkalian
  • Pengurangan
  • Pembagian
  • Bilangan bulat
  • Pecahan
  • Desimal

• Berlanjut

Setelah menguasai Gasing berhitung, kita bisa lanjut ke soal cerita, soal teka-teki berhitung atau berbagai aplikasi seperti menghitung luas, kecepatan, perbandingan dsb.

• Titik Kritis

Dalam setiap tingkatan ada titik kritisnya. Titik kritis adalah keadaan dimana siswa sudah memahami dengan baik konsep-konsep dasar dari suatu tingkatan. Siswa yang telah mencapai titik kritis akan mampu menguasai konsep lanjutan dari tingkatan itu secara mudah.

Sebagai contoh : ‘’’titik kritis penjumlahan’’’ adalah penjumlahan yang hasilnya dibawah 20. Jadi untuk semua siswa yang sudah mampu menjumlahkan bilangan yang hasilnya kurang dari 20 sudah siap untuk melanjutkan pada konsep lanjutan penjumlahan seperti penjumlahan 2 digit, penjumlahan 3 digit dsb.

• Banyak Latihan

Siswa diberikan soal Latihan setelah siswa mampu mencongak. Jadi Latihan yang banyak adalah untuk meningkatkan kemampuan motorik siswa, bagaimana menuliskan apa yang ada diotak dalam bentuk tulisan tangan. Soal Latihan yang banyak juga untuk melatih ‘’’endurance’’’ anak. Mereka harus mengerjakan soal secara cepat misalnya 120 soal dalam waktu 3 menit, ini bermanfaat untuk melatih ‘’’konsentrasi’’’ mereka dan membiasakan bekerja secara cepat dan meningkatkan kerja otak. Latihan yang banyak dengan waktu yang cepat dapat meningkatkan kecerdasan (IQ) juga dan membuat siswa semakin mahir berhitung.

Perhatikan disini langkah demi langkah Gasing:

Kongkret → mencongak → berlatih dengan tulisan.

• Banyak memuji

Selama proses belajar pengajar harus banyak memuji anak untuk progress sekecil apapun juga. Pujian ini akan mendorong anak untuk belajar dan belajar lebih banyak. Pujian ini akan meningkatkan percaya diri siswa sehingga otak siswa akan bekerja lebih baik. Pujian akan membuat anak merasa dihargai dan ini membuat anak lebih mencintai matematika (ia merasa bahwa di ‘matematika’ lah ia dipuji dan dihargai).

Pujian bisa dilakukan secara dengan kata-kata seperti “kamu hebat sekali ya…”, “kamu makin lama makin hebat ya…” , “kamu ini luar biasa sekali”, “kamu akan jadi professor matematika yang sangat hebat…” dsb. Atau pujian ini juga bisa diberikan secara tertulis pada hasil kerja mereka. Seperti begitu mereka selesai menjawab 120 soal dalam 3 menit, kita tulis “wah luar biasa sekali Emon, kamu hebat sekali…” dsb..

• Mengajar dengan hati

Mengajar yang berhasil adalah ketika kita bisa menyamakan frekuensi irama berpikir otak kita dengan irama berpikir anak, kemudian sedikit demi sedikit kita bawa anak itu berfikir dengan frekuensi kita. Teknik ini sangat powerful. Untuk melakukan Teknik ini kita perlu mengajar dengan hati. Kita harus anggap siswa kita adalah makhluk Tuhan yang perlu kita latih sehingga pandai. Kita harus mengajar dengan hati yang tulus dan semangat ingin agar anak ini bisa pandai.

• Mengajar dengan musik/lagu

Indonesia adalah negara yang mencintai musik. Hampir tiap daerah punya lagu-lagu daerahnya masing-masing. Ketika kita mengajar matematika dengan lagu, siswa akan lebih senang dan lebih menangkap apa yang kita ajarkan. Lagu yang dikombinasikan dengan Gerakan dan matematika akan melatih otak kanan dan otak kiri secara bersama-sama dan ini akan menghasilkan efek yang luar biasa pada sang anak. Anak lebih cekatan, lebih cerdas dan lebih kreatif.

• Kecerdasan 6C

Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa GASING itu mengembangkan kecerdasan 6C: Communication, Collaboration, Creativity, Compassion, Critical Thinking, Computational Logic

Gasing Fraction

Pada pelajaran pecahan ini titik gasinya adalah siswa mampu mengerjakan 4 jenis operasi ini secara cepat.

Langkah-langkah untuk menuju ini adalah sebagai berikut

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

1. Arti pecahan
2. Pecahan senilai dan penyederhanaan pecahan
3. Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama atau berbeda
4. Konsep ‘SATU’ dan pecahan adalah bagi
5. Pecahancampuran
6. Titik kritis GASING

Fraction concept

Ada 1 jeruk dipotong menjadi 2 bagian yang sama besar.

1 bagian jeruk kita sebut ${\frac {1}{2}}$ jeruk.

${\frac {1}{2}}$ dinamakan bilangan pecahan.

${\frac {1}{2}}$ diartikan sebagai nilai satu bagian dari satu kelompok yang terdiri dari dua bagian yang sama besar.

${\frac {1}{2}}$ dibaca “1 garis 2” atau “1 per 2”.

Angka yang diatas dinamakan pembilang

Angka yang dibawah dinamakan penyebut

Ini 1 batang biru

Batang biru dibagi dua bagian sama besar.

satu bagian batang ini bernilai ${\frac {1}{2}}$

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Potongan kuning atau potongan merah tidak bernilai ${\frac {1}{2}}$ karena bendanya tidak dipotong sama besar.

Batang kuning dibagi menjadi 3 bagian sama besar

Tiap bagian bernilai ${\frac {1}{3}}$

${\frac {1}{3}}$ artinya nilai 1 bagian dari satu kelompok yang terdiri dari 3 bagian yang sama besar.

Batang ungu dibagi menjadi 4 bagian sama besar

Tiap bagian bernilai ${\frac {1}{4}}$

${\frac {1}{4}}$ artinya nilai 1 bagian dari satu kelompok yang terdiri dari 4 bagian yang sama besar.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

1 Lingkaran dibagi menjadi 8 bagian sama besar

Bagian yang berwarna kuning bernilai ${\frac {3}{8}}$

${\frac {3}{8}}$ artinya nilai 3 bagian dari satu kelompok yang terdiri dari 8 bagian yang sama besar.

Lihat video berikut ini mengenai konsep pecahan.

{{#ev:youtube| watch?v=C4gB6iA70l4 }}

• Aktivitas 1

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai konsep pecahan

Mengerjakan Latihan 1a dari buku Pecahan dan Desimal (buku 5)

Fraction equal value

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Batang kuning atas bernilai ${\frac {1}{2}}$

Batang kuning bawah bernilai ${\frac {2}{4}}$

Kedua batang tersebut sama besar sehingga kita katakan keduanya senilai.

${\frac {1}{2}}$ senilai ${\frac {2}{4}}$

${\frac {1}{2}}$ = ${\frac {2}{4}}$

Perhatikan:${\frac {1}{2}}$ dan ${\frac {2}{4}}$ nilainya sama walaupun artinya berbeda

${\frac {1}{2}}$ artinya nilai 1 bagian dari kelompok yang terdiri dari 2 bagian yang sama besar

${\frac {2}{4}}$ artinya nilai 2 bagian dari kelompok yang terdiri dari 4 bagian yang sama besar

Pada batang merah jambu

${\frac {1}{2}}$ = ${\frac {2}{4}}$ = ${\frac {3}{6}}$ = ${\frac {4}{8}}$ = ${\frac {5}{10}}$ = ${\frac {6}{12}}$

Pecahan ini semua bernilai sama

Pada batang hijau

${\frac {1}{3}}$ = ${\frac {2}{6}}$ = ${\frac {3}{9}}$ = ${\frac {4}{12}}$

Pecahan ini semua bernilai sama

bagaimana mendapatkan pecahan senilai?

Dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Perhatikan beberapa contoh pecahan senilai dalam video dibawah ini.

{{#ev:youtube| watch?v=PoTTD3yRsEg }}

• Aktivitas 1

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai pecahan senilai

Mengerjakan Latihan 2 dari buku Pecahan dan Desimal (buku 5)

Simplify Fraction

Dalam bagian ini kita akan melakukan penyederhanaan pecahan.

Penyederhanaan pecahan adalah proses mendapatkan pecahan senilai yang terkecil (paling sederhana)

Misal

${\frac {6}{9}}$ dapat disederhanakan menjadi ${\frac {2}{3}}$

Cara menyederhanakan pecahan adalah membagi pembilang dan penyebut dengan suatu bilangan yang sama.

Untuk menyerdehanakan ::${\frac {6}{9}}$ menjadi ${\frac {2}{3}}$ kita dapat membagi pembilang dan penyebutnya dengan 3.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Untuk bilangan yang agak besar, kita dapat membagi pembilang dan penyebutnya berulang-ulang sampai kita dapat pecahan yang paling sederhana.

Beberapa contoh menyederhanakan pecahan bisa dilihat dalam video ini

{{#ev:youtube| watch?v=PS1leZn06us }}

• Aktivitas 1

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai pecahan senilai

Mengerjakan Latihan 2 dari buku Pecahan dan Desimal (buku 5)

Operation (+ and -) Fraction with same denominator

Addition

Pada penjumlahan pecahan ini pembahasan dibatasi jumlah pembilang tidak melebihi nilai penyebut.

Gambar ini adalah pecahan ${\frac {2}{8}}$

${\frac {2}{8}}$ = Nilai 2 bagian dari suatu kelompok yang terdiri dari 8 bagian yang sama besar

Kemudian kita tambahkan ${\frac {2}{8}}$ dengan ${\frac {1}{8}}$

Hasilnya adalah ${\frac {3}{8}}$

${\frac {3}{8}}$ = Nilai 3 bagian dari suatu kelompok yang terdiri dari 8 bagian yang sama besar

Contoh lain:

Apa yang kita bisa simpulkan?

Dalam menjumlahkan pecahan dengan penyebut sama, kita hanya menambahkan pembilangnya saja sedangkan penyebut (atau kelompoknya) tetap sama.

Lihat video beberapa contoh penjumlahan pecahan dengan penyebut sama

{{#ev:youtube| watch?v=rJm6Rb-47eI }}

• Aktivitas 1

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai pecahan senilai

Mengerjakan Latihan 2 dari buku Pecahan dan Desimal (buku 5)

Subtraction

3 kotak biru dalam gambar ini menunjukan pecahan ${\frac {3}{5}}$

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

${\frac {3}{5}}$ = Nilai 3 bagian dari suatu kelompok yang terdiri dari 5 bagian yang sama besar

Kemudian kita ambil dua kotak biru

${\frac {3}{5}}$ - ${\frac {2}{5}}$

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Hasilnya adalah ${\frac {1}{5}}$

${\frac {1}{5}}$ = Nilai 1 bagian dari suatu kelompok yang terdiri dari 5 bagian yang sama besar

Contoh lain:

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Apa yang kita bisa simpulkan?

Dalam melakukan pengurangan pecahan dengan penyebut sama, kita hanya mengurangkan pembilangnya saja sedangkan penyebut (atau kelompoknya) tetap sama.

Lihat video untuk beberapa contoh pengurangan dengan penyebut sama.

{{#ev:youtube| watch?v=k-N2vsimlQY }}

Concept ONE

Berapa separuh jeruk ditambah separuh jeruk?

Jawabnya 1 jeruk

Separuh jeruk + separuh jeruk = 1 jeruk

Karena separuh itu kita bisa tulis ${\frac {1}{2}}$

Maka kita bisa tulis

${\frac {1}{2}}$ (jeruk) + ${\frac {1}{2}}$ (jeruk) = 1 (jeruk)

Kita bisa juga tulis

${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{2}}$ = 1

Namun kita tahu bahwa

${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{2}}$ = ${\frac {2}{2}}$

Sehingga kita bisa simpulkan bahwa

${\frac {2}{2}}$ = 1

Contoh lain

Berapa seperempat batang kuning ditambah seperempat batang kuning ditambah seperempat batang kuning ditambah seperempat batang kuning ?

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Jawabnya 1 batang kuning

${\frac {1}{4}}$ (batang kuning) + ${\frac {1}{4}}$ (batang kuning) + ${\frac {1}{4}}$ (batang kuning) + ${\frac {1}{4}}$ (batang kuning)= 1 (batang kuning)

Namun kita tahu bahwa

${\frac {1}{4}}$ + ${\frac {1}{4}}$ +${\frac {1}{4}}$ + ${\frac {1}{4}}$ = ${\frac {4}{4}}$

Sehingga boleh dikatakan bahwa

${\frac {4}{4}}$ = 1

karena ${\frac {2}{2}}$ = 1 dan ${\frac {4}{4}}$ = 1 maka kita boleh tuliskan,

${\frac {2}{2}}$ = ${\frac {4}{4}}$ = ${\frac {10}{10}}$ = ${\frac {178}{178}}$ = 1

Jadi bisa disimpulkan bahwa dalam konteks pecahan arti bilangan 1 adalah sebagai berikut

1 adalah nilai 2 bagian dari satu kelompok yang terdiri dari 2 bagian yang sama besar.

1 adalah nilai 3 bagian dari satu kelompok yang terdiri dari 3 bagian yang sama besar.

1 adalah nilai 5 bagian dari satu kelompok yang terdiri dari 5 bagian yang sama besar.

Video berikut ini menjelaskan konsep "satu'

{{#ev:youtube| watch?v=U8rmQGhGgew }}

Fraction and division

Kita sering mendengar bahwa pecahan itu sama dengan bagi.

Apakah itu benar?

Apakah ${\frac {1}{2}}$ = 1 ÷ 2 ?

Untuk menjawab ini, mari kita lihat gambar ini

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Disini kita punya 1 kue berwarna hijau. Kue ini hendak dimasukan dalam 2 kotak secara adil, berapa isi masing-masing kotak?

Untuk itu kita menuliskannya dalam bentuk 1 ÷ 2 = ?

Jawabnya: isi masing-masing kotak adalah separuh kue

Sekarang kita perhatikan gambar separuh kue.

Menurut definisi pecahan,

separuh atau setengah kue adalah nilai 1 bagian dari satu kue yang terdiri dari dua bagian yang sama besar.

Ini ditulis ${\frac {1}{2}}$ kue

Jadi kita bisa katakan bahwa

Separuh kue adalah hasil pembagian dari 1 kue dibagi 2

Separuh kue sama dengan ${\frac {1}{2}}$ kue

Dengan demikian kita bisa katakan bahwa

:: 1 kue ÷ 2 nilainya sama  dengan  ${\frac {1}{2}}$ kue

ditulis

1 ÷ 2 = ${\frac {1}{2}}$

Ini juga berlaku untuk pecahan-pecahan lain seperti:

${\frac {1}{5}}$ nilainya sama dengan 1 dibagi 5

${\frac {1}{7}}$ nilainya sama dengan 1 dibagi 7

${\frac {1}{12}}$ nilainya sama dengan 1 dibagi 12

Sekarang kalau pembilangnya bukan 1, apakah "pecahan itu nilainya sama dengan pembagian" masih berlaku?

Apakah ${\frac {4}{2}}$ nilainya sama dengan 4 dibagi 2 ?

Untuk hal ini kita lihat pelajaran sebelumnya tentang 1.

pada pelajaran sebelumnya 1 boleh didefinisikan sebagai nilai 2 bagian dari suatu kelompok yang terdiri dari 2 bagian yang sama besar.

Atau

1 = ${\frac {2}{2}}$

Dengan hasil itu kita bisa menulis,

${\frac {4}{2}}$ = ${\frac {2}{2}}$ + ${\frac {2}{2}}$

${\frac {4}{2}}$ = 1 + 1 = 2

Ternyata ${\frac {4}{2}}$ = 2!

pembagian 4 ÷ 2 hasilnya adalah 2 juga

Dengan demikian maka bisa dikatakan

${\frac {4}{2}}$ nilainya sama dengan 4 dibagi 2 = 2

Jadi pecahan itu mempunyai kaitan yang erat dengan pembagian. Keduanya mempunyai nilai yang sama walaupun secara konsep berbeda.

Untuk jelasnya lihat video berikut ini

{{#ev:youtube| watch?v=raii20Dvoxg }}

Compound Fraction

Berapa ${\frac {2}{3}}$ + ${\frac {2}{3}}$?

${\frac {2}{3}}$ + ${\frac {2}{3}}$ = ${\frac {4}{3}}$

Kita bisa sederhanakan pecahan ${\frac {2}{3}}$ dengan menggunakan konsep satu atau konsep pecahan dan bagi.

${\frac {4}{3}}$ = ${\frac {3}{3}}$ + ${\frac {1}{3}}$

Karena ${\frac {3}{3}}$ = 1, maka

${\frac {4}{3}}$ = 1 + ${\frac {1}{3}}$ = 1${\frac {1}{3}}$

Dimana kita definisikan bilangan bulat + pecahan sebagai bilangan bulat pecahan

bentuk bilangan bulat pecahan seperti 1${\frac {1}{3}}$ dinamakan pecahan campuran atau pecahan majemuk.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

${\frac {5}{3}}$ = ${\frac {3}{3}}$ + ${\frac {2}{3}}$ = 1${\frac {2}{3}}$

${\frac {7}{5}}$ = ${\frac {5}{5}}$ + ${\frac {2}{5}}$ = 1${\frac {2}{5}}$

${\frac {12}{7}}$ = ${\frac {7}{7}}$ + ${\frac {5}{7}}$ = 1${\frac {5}{12}}$

${\frac {25}{23}}$ = ${\frac {23}{23}}$ + ${\frac {2}{23}}$ = 1${\frac {2}{23}}$

Perhatikan contoh dalam video berikut

{{#ev:youtube| watch?v=RFgSVEUixCc }}

Operation (+ and -) Fraction with Different denominator

Pada bagian ini kita akan melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dengan penyebut berbeda.

Addition

Bagaimana menghitung ${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{3}}$ ?

Disini penyebutnya berbeda.

Kita harus ubah penyebutnya sehingga sama.

Caranya

${\frac {1}{2}}$ dijadikan ${\frac {3}{6}}$

${\frac {1}{3}}$ dijadikan ${\frac {2}{6}}$

Sehingga kita peroleh

${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{3}}$ = ${\frac {3}{6}}$ + ${\frac {2}{6}}$ = ${\frac {5}{6}}$

Bagaimana kita tahu penyebutnya harus dijadikan 6?

6 adalah bilangan yang bisa dibagi 2 dan bisa dibagi 3

Karena itu kita pasti bisa mengubah pecahan ${\frac {1}{2}}$ dan ${\frac {1}{3}}$ menjadi pecahan dengan penyebut 6.

Bagaimana mendapatkan angka 6?

Cara termudah adalah

Mengalikan penyebut pecahan yang dijumlahkan yaitu 3 x 2

Cara lain:

Dengan mencari bilangan terkecil yang bisa dibagi 2 dan bisa dibagi 3.

Apakah penyebutnya boleh 12? Bukankah 12 juga bisa dibagi 2 atau dibagi 3?

Boleh namun hasilnya nanti kamu harus sederhanakan lagi

${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{3}}$ = ${\frac {6}{12}}$ + ${\frac {4}{12}}$ = ${\frac {10}{12}}$ = ${\frac {5}{6}}$

Kita boleh mengubah pecahan menjadi 6, 12, 18, 24 dsb. Tetapi sebaiknya ambil yang terkecil yaitu 6.

Bagaimana menghitung ${\frac {1}{4}}$ + ${\frac {1}{6}}$ = ?

Kita ubah penyebutnya menjadi 4 x 6 = 24

${\frac {1}{4}}$ + ${\frac {1}{6}}$ = ${\frac {6}{24}}$ + ${\frac {4}{24}}$ = ${\frac {10}{24}}$ = ${\frac {5}{12}}$

Atau

cari bilangan yang bisa dibagi 4 dan 6. Dalam hal ini bilangannya adalah 12, 24, 36 dsb.

Kita pilih bilangan yang terkecil yaitu 12.

${\frac {1}{4}}$ + ${\frac {1}{6}}$ = ${\frac {3}{12}}$ + ${\frac {2}{12}}$ = ${\frac {5}{12}}$

Bagaimana dengan ${\frac {2}{5}}$ + ${\frac {3}{10}}$ = ?

kita ubah penyebutnya menjadi 5 x 10 = 50

${\frac {2}{5}}$ + ${\frac {3}{10}}$ = ${\frac {20}{50}}$ + ${\frac {15}{50}}$ = ${\frac {35}{50}}$ = ${\frac {7}{10}}$

Atau

Cari bilangan yang bisa dibagi 5 dan bisa dibagi 10. Dalam hal ini bilangannya adalah 10, 20, 30, 40 dst..

Kita pilih bilangan yang terkecil yaitu 10

${\frac {2}{5}}$ + ${\frac {3}{10}}$ = ${\frac {4}{10}}$ + ${\frac {3}{10}}$ = ${\frac {7}{10}}$

Cara lain adalah menggunakan batang pecahan.

Misal kita akan menghitung ${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{3}}$ =

Ini adalah batang pecahan.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Pertama kita lihat batang mana yang besarnya sama dengan batang ${\frac {1}{2}}$.

Ternyata ${\frac {1}{2}}$ = ${\frac {2}{4}}$ = ${\frac {3}{6}}$ = ${\frac {4}{8}}$ = ${\frac {5}{10}}$ dst (bagian yang berwarna biru)

Kemudian kita lihat batang mana yang besarnya sama dengan batang ${\frac {1}{3}}$

Ternyata ${\frac {1}{3}}$ = ${\frac {2}{6}}$ = ${\frac {3}{9}}$ = ${\frac {4}{12}}$ dst (bagian yang berwarna merah)

Kita lihat mana penyebut yang sama dari kedua kelompok ini?

Jawabnya adalah 6.

Kita gabungkan kedua nilai pecahan diatas seperti pada gambar

Jadi ${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{3}}$ = ${\frac {5}{6}}$

Berikut ini adalah beberapa contoh penjumlahan pecahan

{{#ev:youtube| watch?v=1iqMwdBkLf8 }}

Addition (Quick way)

Perhatikan ${\frac {2}{5}}$ + ${\frac {3}{10}}$ =

Penyebutnya dijadikan 5 x 10

${\begin{array}{lcl}{\frac {2}{5}}+{\frac {3}{10}}&=&{\frac {2\times 10}{5\times 10}}+{\frac {5\times 3}{5\times 10}}\\&=&{\frac {2\times 10+5\times 3}{5\times 10}}\end{array}}$

Lihat beberapa contoh berikut dan perhatikan polanya.

a) ${\frac {4}{5}}$ + ${\frac {2}{3}}$ =

Penyebutnya dijadikan 5 x 3

${\begin{array}{lcl}{\frac {4}{5}}+{\frac {2}{3}}&=&{\frac {4\times 3}{5\times 3}}+{\frac {5\times 2}{5\times 3}}\\&=&{\frac {4\times 3+5\times 2}{5\times 3}}\end{array}}$

b) ${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {3}{4}}$ =

Penyebutnya dijadikan 2 x 4

${\begin{array}{lcl}{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{4}}&=&{\frac {1\times 4}{2\times 4}}+{\frac {2\times 3}{2\times 4}}\\&=&{\frac {1\times 4+2\times 3}{2\times 4}}\end{array}}$

c) ${\frac {1}{3}}$ + ${\frac {3}{5}}$ =

Penyebutnya dijadikan 3 x 5

${\begin{array}{lcl}{\frac {1}{3}}+{\frac {3}{5}}&=&{\frac {1\times 5}{3\times 5}}+{\frac {3\times 3}{3\times 5}}\\&=&{\frac {1\times 5+3\times 3}{3\times 5}}\end{array}}$

d) ${\frac {2}{5}}$ + ${\frac {3}{7}}$ =

Penyebutnya dijadikan 5 x 7

${\begin{array}{lcl}{\frac {2}{5}}+{\frac {3}{7}}&=&{\frac {2\times 7}{5\times 7}}+{\frac {5\times 3}{5\times 7}}\\&=&{\frac {2\times 7+5\times 3}{5\times 7}}\end{array}}$

Kita perhatikan bahwa ada pola yang menarik, yaitu pola perkalian silang.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Gunakan ini untuk mempercepat perhitungan mencongak.

Video berikut ini menunjukan beberapa contoh menyelesaikan penjumlahan pecahan dengan cara cepat.

{{#ev:youtube| watch?v=buzx2IqTY6o }}

Subtraction

Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda sama konsepnya dengan penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda.

Misalnya bagaimana menghitung ${\frac {1}{4}}$ - ${\frac {1}{6}}$ = ?

Kita ubah penyebutnya menjadi 4 x 6 = 24

${\frac {1}{4}}$ - ${\frac {1}{6}}$ = ${\frac {6}{24}}$ - ${\frac {4}{24}}$ = ${\frac {2}{24}}$ = ${\frac {1}{12}}$

Atau

cari bilangan yang bisa dibagi 4 dan 6. Dalam hal ini bilangannya adalah 12, 24, 36 dsb.

Kita pilih bilangan yang terkecil yaitu 12.

${\frac {1}{4}}$ - ${\frac {1}{6}}$ = ${\frac {3}{12}}$ - ${\frac {2}{12}}$ = ${\frac {1}{12}}$

Bagaimana dengan ${\frac {2}{5}}$ - ${\frac {3}{10}}$ = ?

kita ubah penyebutnya menjadi 5 x 10 = 50

${\frac {2}{5}}$ - ${\frac {3}{10}}$ = ${\frac {20}{50}}$ - ${\frac {15}{50}}$ = ${\frac {5}{50}}$ = ${\frac {1}{10}}$

Atau

Cari bilangan yang bisa dibagi 5 dan bisa dibagi 10. Dalam hal ini bilangannya adalah 10, 20, 30, 40 dst..

Kita pilih bilangan yang terkecil yaitu 10

${\frac {2}{5}}$ - ${\frac {3}{10}}$ = ${\frac {4}{10}}$ - ${\frac {3}{10}}$ = ${\frac {1}{10}}$

Lihat video cara mengerjakan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda

{{#ev:youtube| watch?v=11fENTTJJ4o }}

Substraction (Quick way)

Pola pengurangan pecahan cara cepat sama dengan pola penjumlahan pecahan cara cepat.

Perhatikan ${\frac {2}{5}}$ - ${\frac {3}{10}}$ =

Penyebutnya dijadikan 5 x 10

${\begin{array}{lcl}{\frac {2}{5}}-{\frac {3}{10}}&=&{\frac {2\times 10}{5\times 10}}-{\frac {5\times 3}{5\times 10}}\\&=&{\frac {2\times 10-5\times 3}{5\times 10}}\end{array}}$

Bagaimana dengan ${\frac {4}{5}}$ - ${\frac {3}{7}}$ = ?

Penyebutnya dijadikan 5 x 7

${\begin{array}{lcl}{\frac {4}{5}}-{\frac {3}{7}}&=&{\frac {4\times 7}{5\times 7}}-{\frac {5\times 3}{5\times 7}}\\&=&{\frac {4\times 7-5\times 3}{5\times 7}}\end{array}}$

Pola perkalian silangnya adalah

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Lihat video berikut ini untuk beberapa contoh pengurangan cara cepat

{{#ev:youtube| watch?v=c3tZ95x8crc }}

Negative fraction (Quick way)

Konsep pecahan negatif, mirip dengan konsep bilangan bulat negatif.

Misalnya kita punya suatu garis bilangan. Tiap titik yang berdekatan berbeda ${\frac {1}{5}}$

Dari titik 0 ke kanan, nilai tiap titik berturut-turut adalah ${\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}}$ dst.

Dari titik 0 ke kiri, nilai tiap titik berturut-turut adalah $-{\frac {1}{5}},-{\frac {2}{5}},-{\frac {3}{5}}$ dst.

Disini,

$-{\frac {1}{5}}$ nilainya sama dengan $0-{\frac {1}{5}}$

$-{\frac {2}{5}}$ nilainya sama dengan $0-{\frac {2}{5}}$

$-{\frac {3}{5}}$ nilainya sama dengan $0-{\frac {3}{5}}$

Operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan negatif, adalah seperti operasi bilangan bulat negatif.

Berikut ini adalah beberapa contoh operasi bilangan pecahan negatif.

a) $-{\frac {4}{5}}$ + ${\frac {3}{7}}$ =

Penyebutnya dijadikan 5 x 7

${\begin{array}{lcl}-{\frac {4}{5}}+{\frac {3}{7}}&=&{\frac {-4\times 7}{5\times 7}}+{\frac {5\times 3}{5\times 7}}\\&=&{\frac {-4\times 7+5\times 3}{5\times 7}}\end{array}}$

Pola perkalian silangnya adalah

b) $-{\frac {4}{5}}$ - ${\frac {3}{7}}$ =

${\begin{array}{lcl}-{\frac {4}{5}}-{\frac {3}{7}}&=&{\frac {-4\times 7}{5\times 7}}-{\frac {5\times 3}{5\times 7}}\\&=&{\frac {-4\times 7-5\times 3}{5\times 7}}\end{array}}$

Pola perkalian silangnya adalah

Beberapa contoh penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan negatif dapat dilihat dalam video ini

{{#ev:youtube| watch?v=VpMnTBKeF6c }}

Pure to compound fraction and vice versa

Pure to Compound Fraction

Bagaimana menyederhanakan pecahan yang pembilangnya besar tetapi penyebutnya kecil seperti ${\frac {44}{7}}$

kita gunakan konsep pecahan dan bagi.

44 ÷ 7 = 6 sisa 2

Hasil bilangan bulatnya kita ambil, dan sisanya kita jadikan pecahan ${\frac {2}{7}}$

${\frac {44}{7}}$ = 6${\frac {2}{7}}$

Mari kita buktikan

${\frac {44}{7}}$ = ${\frac {42}{7}}$ + ${\frac {2}{7}}$

${\frac {44}{7}}$ = 6 + ${\frac {2}{7}}$

${\frac {44}{7}}$ = 6 ${\frac {2}{7}}$

Perhatikan beberapa contoh ini

${\frac {43}{8}}=?$

43 ÷ 8 = 5 sisa 3

${\frac {43}{8}}$ = 5${\frac {3}{8}}$

${\frac {25}{4}}=?$

25 ÷ 4 = 6 sisa 1

${\frac {25}{4}}$ = 6${\frac {1}{4}}$

${\frac {101}{9}}=?$

101 ÷ 9 = 11 sisa 2

${\frac {101}{9}}$ = 11${\frac {2}{9}}$

Lihat beberapa contoh mengubah pecahan atau pecahan biasa menjadi pecahan majemuk dalam video berikut.

{{#ev:youtube| watch?v=kXpA84IhSJk }}

Compound to Pure Fraction

Bagaimana mengubah pecahan majemuk menjadi pecahan biasa atau pecahan murni?

Bagaimana mengubah 2${\frac {1}{2}}$ menjadi pecahan biasa?

Perhatikan langkah-langkahnya pada contoh berikut ini lalu lihat polanya dan buat kesimpulan

${\begin{array}{lcl}2{\frac {1}{2}}&=&2+{\frac {1}{2}}\\&=&{\frac {4}{2}}+{\frac {1}{2}}\\&=&{\frac {5}{2}}\end{array}}$

${\begin{array}{lcl}3{\frac {1}{3}}&=&3+{\frac {1}{3}}\\&=&{\frac {9}{3}}+{\frac {1}{3}}\\&=&{\frac {10}{3}}\end{array}}$

${\begin{array}{lcl}5{\frac {2}{7}}&=&5+{\frac {2}{7}}\\&=&{\frac {35}{7}}+{\frac {2}{7}}\\&=&{\frac {37}{7}}\end{array}}$

${\begin{array}{lcl}4{\frac {3}{5}}&=&4+{\frac {3}{5}}\\&=&{\frac {20}{5}}+{\frac {3}{5}}\\&=&{\frac {23}{5}}\end{array}}$

Cara cepatnya

Kalikan bilangan bulat dengan penyebut.

Tambahkan hasilnya dengan pembilang.

${\begin{array}{lcl}3{\frac {1}{2}}&=&{\frac {3\times 2+1}{2}}\\&=&{\frac {7}{2}}\end{array}}$

${\begin{array}{lcl}5{\frac {2}{7}}&=&{\frac {5\times 7+2}{7}}\\&=&{\frac {37}{7}}\end{array}}$

${\begin{array}{lcl}8{\frac {3}{5}}&=&{\frac {8\times 5+3}{5}}\\&=&{\frac {43}{5}}\end{array}}$

Video ini menunjukan contoh-contoh mengubah pecahan majemuk menjadi pecahan biasa.

Video

Critical point

Titik Kritis untuk pecahan dicapai kalau siswa sudah mampu menguasai penjumlahan dan pengurangan seperti berikut ini

Model 1 : $2+{\frac {5}{7}}$

Penjumlahan bilangan bulat dengan pecahan dapat dilakukan sebagai berikut:

$2+{\frac {5}{7}}$ = $2{\frac {5}{7}}$

$3+{\frac {3}{10}}$ = $3{\frac {3}{10}}$

$7+{\frac {2}{9}}$ = $7{\frac {2}{9}}$

$25+{\frac {5}{12}}$ = $25{\frac {5}{12}}$

Dapatkah Anda menemukan polanya?

Mudah kan?

Model 2 : $-2-{\frac {5}{7}}$

Penjumlahan bilangan bulat dengan pecahan untuk model 2 ini mirip dengan model 1.

Perhatikan contoh berikut

$-2-{\frac {5}{7}}$ = $-2{\frac {5}{7}}$

$-3-{\frac {3}{10}}$ = $-3{\frac {3}{10}}$

$-7-{\frac {2}{9}}$ = $-7{\frac {2}{9}}$

$-25-{\frac {5}{12}}$ = $-25{\frac {5}{12}}$

Dapatkah Anda menemukan polanya?

Mudah kan?

Model 3 : $2-{\frac {5}{7}}$

Model 3 ini berbeda dengan model 1 dan 2.

• Langkah pertama adalah menghitung bentuk $1-{\frac {5}{7}}$

Cara mengerjakannya adalah mengubah 1 menjadi ${\frac {7}{7}}$

$1-{\frac {5}{7}}$ = ${\frac {7}{7}}-{\frac {5}{7}}$ = ${\frac {2}{7}}$

Lihat beberapa contoh berikut

$1-{\frac {3}{11}}$ = ${\frac {11}{11}}-{\frac {3}{11}}$ = ${\frac {8}{11}}$

$1-{\frac {4}{5}}$ = ${\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}$ = ${\frac {1}{5}}$

$1-{\frac {5}{8}}$ = ${\frac {8}{8}}-{\frac {5}{8}}$ = ${\frac {3}{8}}$

$1-{\frac {4}{27}}$ = ${\frac {27}{27}}-{\frac {4}{27}}$ = ${\frac {23}{27}}$

• Langkah kedua adalah memecah bilangan bulatnya menjadi 1 dan sisanya

$2-{\frac {5}{7}}$ = 1 + $(1-{\frac {5}{7}})$ = $1+{\frac {2}{7}}$ = $1{\frac {2}{7}}$

Perhatikan contoh berikutnya

$5-{\frac {5}{7}}$ = 4 + $(1-{\frac {5}{7}})$ = $4+{\frac {2}{7}}$ = $4{\frac {2}{7}}$

$7-{\frac {5}{7}}$ = 6 + $(1-{\frac {5}{7}})$ = $6+{\frac {2}{7}}$ = $6{\frac {2}{7}}$

$6-{\frac {5}{7}}$ = 5 + $(1-{\frac {5}{7}})$ = $5+{\frac {2}{7}}$ = $5{\frac {2}{7}}$

$23-{\frac {5}{7}}$ = 22 + $(1-{\frac {5}{7}})$ = $22+{\frac {2}{7}}$ = $22{\frac {2}{7}}$

$5-{\frac {2}{9}}$ = 4 + $(1-{\frac {2}{9}})$ = $4+{\frac {7}{9}}$ = $4{\frac {7}{9}}$

$7-{\frac {3}{11}}$ = 6 + $(1-{\frac {3}{11}})$ = $6+{\frac {8}{11}}$ = $6{\frac {8}{11}}$

$6-{\frac {4}{5}}$ = 5 + $(1-{\frac {4}{5}})$ = $5+{\frac {1}{5}}$ = $5{\frac {1}{5}}$

$23-{\frac {7}{12}}$ = 22 + $(1-{\frac {7}{12}})$ = $22+{\frac {5}{12}}$ = $22{\frac {5}{12}}$

Bisakah Anda melihat polanya?

Video

Model 4 : $-2+{\frac {5}{7}}$

Model 4 ini berbeda dengan model sebelumnya.

• Langkah pertama adalah menghitung bentuk $-1+{\frac {5}{7}}$

Cara mengerjakannya adalah mengubah -1 menjadi $-{\frac {7}{7}}$

$-1+{\frac {5}{7}}$ = $-{\frac {7}{7}}+{\frac {5}{7}}$ = $-{\frac {2}{7}}$

Lihat beberapa contoh berikut

$-1+{\frac {3}{11}}$ = $-{\frac {11}{11}}+{\frac {3}{11}}$ = $-{\frac {8}{11}}$

$-1+{\frac {4}{5}}$ = $-{\frac {5}{5}}+{\frac {4}{5}}$ = $-{\frac {1}{5}}$

$-1+{\frac {5}{8}}$ = $-{\frac {8}{8}}+{\frac {5}{8}}$ = $-{\frac {3}{8}}$

$-1+{\frac {4}{27}}$ = $-{\frac {27}{27}}+{\frac {4}{27}}$ = $-{\frac {23}{27}}$

• Langkah kedua adalah memecah bilangan bulatnya menjadi -1 dan sisanya

$-2+{\frac {5}{7}}$ = -1 + $(-1+{\frac {5}{7}})$ = $-1-{\frac {2}{7}}$ = $-1{\frac {2}{7}}$

Perhatikan contoh berikutnya

$-5+{\frac {5}{7}}$ = -4 $(-1+{\frac {5}{7}})$ = $-4-{\frac {2}{7}}$ = $-4{\frac {2}{7}}$

$-7+{\frac {5}{7}}$ = -6 $(-1+{\frac {5}{7}})$ = $-6-{\frac {2}{7}}$ = $-6{\frac {2}{7}}$

$-6+{\frac {5}{7}}$ = -5 $(-1+{\frac {5}{7}})$ = $-5-{\frac {2}{7}}$ = $-5{\frac {2}{7}}$

$-23+{\frac {5}{7}}$ = -22 $(-1+{\frac {5}{7}})$ = $-22-{\frac {2}{7}}$ = $-22{\frac {2}{7}}$

$-5+{\frac {2}{9}}$ = -4 $(-1+{\frac {2}{9}})$ = $-4-{\frac {7}{9}}$ = $-4{\frac {7}{9}}$

$-7+{\frac {3}{11}}$ = -6 $(-1+{\frac {3}{11}})$ = $-6-{\frac {8}{11}}$ = $-6{\frac {8}{11}}$

$-6+{\frac {4}{5}}$ = -5 $(-1+{\frac {4}{5}})$ = $-5-{\frac {1}{5}}$ = $-5{\frac {1}{5}}$

$-23+{\frac {7}{12}}$ = -22 $(-1+{\frac {7}{12}})$ = $-22-{\frac {5}{12}}$ = $-22{\frac {5}{12}}$

Bisakah Anda melihat polanya?

Video

Operation (+ and -) compound Fraction

Pada bagian ini kita belajar bagaiman melakukan penjumlahan dan pengurangan pecahan majemuk.

Ada 4 macam jenis bentuk soal-soal penjumlahan dan pengurangan pecahan majemuk ini.

model 1 : $2{\frac {2}{5}}+3{\frac {3}{7}}$

Pada model ini pecahan campuran positif ditambah pecahan campuran positif.

Contoh : $2{\frac {5}{7}}+3{\frac {3}{8}}$

• Langkah pertama: jumlahkan bilangan bulatnya

2 + 3 = 5

• Langkah kedua : jumlahkan pecahannya

${\begin{array}{lcl}{\frac {5}{7}}+{\frac {3}{8}}&=&{\frac {5\times 8}{7\times 8}}+{\frac {7\times 3}{7\times 8}}\\&=&{\frac {5\times 8+7\times 3}{7\times 8}}\\&=&{\frac {40+21}{56}}\\&=&{\frac {61}{56}}\\&=&1{\frac {5}{56}}\end{array}}$

• Langkah ketiga : Jumlahkan bilangan bulat dan hasil pecahan

$5+1{\frac {5}{56}}$ = $6{\frac {5}{56}}$

Jadi

$2{\frac {5}{7}}+3{\frac {3}{8}}$ = $6{\frac {5}{56}}$

Dalam contoh ini terdapat beberapa contoh lain penjumlahan model 1 ini.

Video

model 2 : $-2{\frac {2}{5}}-3{\frac {3}{7}}$

Pada model ini pecahan campuran negatif ditambah pecahan campuran negatif.

Contoh : $-2{\frac {5}{7}}-3{\frac {3}{8}}$

• Langkah pertama: jumlahkan bilangan bulatnya

-2 - 3 = -5

• Langkah kedua : jumlahkan pecahannya (ingat $-2{\frac {5}{7}}=-2-{\frac {5}{7}}$

${\begin{array}{lcl}-{\frac {5}{7}}-{\frac {3}{8}}&=&{\frac {-5\times 8}{7\times 8}}-{\frac {7\times 3}{7\times 8}}\\&=&{\frac {-5\times 8-7\times 3}{7\times 8}}\\&=&{\frac {-40-21}{56}}\\&=&{\frac {-61}{56}}\\&=&-1{\frac {5}{56}}\end{array}}$

• Langkah ketiga : Jumlahkan bilangan bulat dan hasil pecahan

$-5-1{\frac {5}{56}}$ = $-6{\frac {5}{56}}$

Jadi

$-2{\frac {5}{7}}-3{\frac {3}{8}}$ = $-6{\frac {5}{56}}$

Dalam contoh ini terdapat beberapa contoh lain penjumlahan model 2 ini.

Video