GABER Bilangan Bulat

Gasing Berhitung: Bilangan Bulat

Titik Kritis Gasing dalam bilangan bulat ini adalah siswa mengerti konsep ambil/taruh gunung/lembah. Untuk mencapai titik kritis tersebut, Metode Gasing mengajarkan langkah demi langkah sebagai berikut:

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Rahasia agar anak dapat menguasai operasi bilangan bulat adalah bakalkubagi-nya harus kuat.

Number line (Whole number concept)

Pada bagian ini kita akan belajar konsep bilangan bulat dengan memanfaatkan garis bilangan.

Ini adalah gambar garis bilangan.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Garis bilangan adalah suatu garis yang didalamnya terdapat titik-titik dengan jarak sama antara dua titik yang berdekatan. Titik-titik ini diberi nama secara berurutan sesuai dengan pola tertentu.

Pada gambar diatas antara satu bilangan dengan bilangan terdekatnya berjarak 1.

Dengan memperhatikan pola bilangan pada titik-titik dalam garis bilangan berikut ini, coba isi titik-titik yang kosong dengan bilangan bulat yang tepat.

Perhatikan garis bilangan berikut:

Mulai dari titik 3 melangkah ke kiri 1 skala tiba di titik 2. Titik 2 adalah titik tiga kurang satu"

Mulai dari titik 3 melangkah ke kiri 2 skala tiba di titik 1. Titik 1 adalah titik tiga kurang dua"

Mulai dari titik 3 melangkah ke kiri 3 skala tiba di titik 0. Titik 0 adalah titik tiga kurang tiga"

Selanjutnya,

Dari 0 melangkah ke kiri 1 langkah tiba di titik yang disebut nol kurang satu

Dari 0 melangkah ke kiri 2 langkah tiba di titik yang disebut nol kurang dua

Dari 0 melangkah ke kiri 3 langkah tiba di titik yang disebut nol kurang tiga

Definisi

'nol kurang satu' disebut −1 (dibaca minus satu atau min satu atau negatif satu)

'nol kurang dua' disebut −2 (dibaca minus dua atau min dua atau negatif dua)

'nol kurang tiga' disebut −3 (dibaca minus tiga atau min tiga atau negatif tiga)

Bilangan dengan tanda -(minus) didepannya, disebut bilangan negatif.

Bilangan bulat dengan tanda -(minus) didepannya, disebut bilangan bulat negatif.

Gabungan bilangan bulat negatif, bilangan bulat positif dan 0 disebut bilangan bulat.

0 disebut bilangan bulat netral (bukan negatif bukan positif).

Addition and Subtraction using Number line

Kita akan melakukan operasi bilangan bulat (penjumlahan dan pengurangan) dengan memanfaatkan garis bilangan.

Beberapa hal yang perlu diperhatikan adalah:

• Anak panah menunjukan bilangan
• Panjang anak panah menunjukan nilai bilangan tersebut
• Arah ke kanan untuk bilangan positif
• Arah ke kiri untuk bilangan negatif

Operasi penjumlahan (+) artinya anak panah lama dilanjutkan anak panah baru

Operasi pengurangan (-) artinya anak panah dilanjutkan pada arah berlawanan anak panah baru

Contoh:

a) 2 + 3 =....

Gambar bilangan 2 dan bilangan 3 berupa anak-anak panah yang dimulai dari titik 0.

Operasi penjumlahan (+) artinya anak panah lama dilanjutkan anak panah baru

Operasi pengurangan (-) artinya anak panah dilanjutkan pada arah berlawanan anak panah baru

Hasilnya adalah anak panah yang panjangnya 5 satuan, arahnya ke kanan.

Jadi 2 + 3 = 5

b) (-2) + (-3) = ....

Gambar bilangan -2 dan bilangan -3 berupa anak-anak panah yang dimulai dari titik 0.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Operasi penjumlahan (+) artinya anak panah lama dilanjutkan anak panah baru

Operasi pengurangan (-) artinya anak panah dilanjutkan pada arah berlawanan anak panah baru

Hasilnya adalah anak panah yang panjangnya 5 satuan, arahnya ke kiri.

Jadi (-2) + (-3) = -5

c) 2 + (-3) = ....

Gambar bilangan 2 dan bilangan -3 berupa anak-anak panah yang dimulai dari titik 0.

Operasi penjumlahan (+) artinya anak panah lama dilanjutkan anak panah baru

Operasi pengurangan (-) artinya anak panah dilanjutkan pada arah berlawanan anak panah baru

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Hasilnya adalah anak panah yang panjangnya 1 satuan, arahnya ke kiri.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Jadi 2 + (-3) = -1

d) -2 + 3 = ....

Gambar bilangan -2 dan bilangan 3 berupa anak-anak panah yang dimulai dari titik 0.

Operasi penjumlahan (+) artinya anak panah lama dilanjutkan anak panah baru

Operasi pengurangan (-) artinya anak panah dilanjutkan pada arah berlawanan anak panah baru

Hasilnya adalah anak panah yang panjangnya 1 satuan, arahnya ke kanan.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Jadi -2 + 3 = 1

e) 3 - 2 = ....

Gambar bilangan 3 dan bilangan -2 berupa anak-anak panah yang dimulai dari titik 0.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Operasi penjumlahan (+) artinya anak panah lama dilanjutkan anak panah baru

Operasi pengurangan (-) artinya anak panah dilanjutkan pada arah berlawanan anak panah baru

3 kalau ditambahkan 2 hasilnya

Tapi karena 3 dikurangi 2 maka anak panah 2 nya harus dibalik arah

Hasilnya adalah anak panah yang panjangnya 1 satuan, arahnya ke kanan.

Jadi 3 - 2 = 1

f) (-3) - (-2) = ....

Gambar bilangan -3 dan bilangan -2 berupa anak-anak panah yang dimulai dari titik 0.

Operasi penjumlahan (+) artinya anak panah lama dilanjutkan anak panah baru

Operasi pengurangan (-) artinya anak panah dilanjutkan pada arah berlawanan anak panah baru

-3 kalau ditambahkan -2 hasilnya

Tapi karena -3 dikurangi -2 maka anak panah -2 nya harus dibalik arah

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Hasilnya adalah anak panah yang panjangnya 1 satuan, arahnya ke kiri.

Jadi (-3) - (-2) = -1

g) 2 - 3 = ....

Gambar bilangan 2 dan bilangan -3 berupa anak-anak panah yang dimulai dari titik 0.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Operasi penjumlahan (+) artinya anak panah lama dilanjutkan anak panah baru

Operasi pengurangan (-) artinya anak panah dilanjutkan pada arah berlawanan anak panah baru

2 kalau ditambahkan 3 hasilnya

Tapi karena 2 dikurangi 3 maka anak panah 3 nya harus dibalik arah

Hasilnya adalah anak panah yang panjangnya 1 satuan, arahnya ke kiri.

Jadi 2 - 3 = -1

h) (-2) - (-3) = ....

Gambar bilangan -2 dan bilangan -3 berupa anak-anak panah yang dimulai dari titik 0.

Operasi penjumlahan (+) artinya anak panah lama dilanjutkan anak panah baru

Operasi pengurangan (-) artinya anak panah dilanjutkan pada arah berlawanan anak panah baru

-2 kalau ditambahkan -3 hasilnya

Tapi karena -2 dikurangi -3 maka anak panah -3 nya harus dibalik arah

Hasilnya adalah anak panah yang panjangnya 1 satuan, arahnya ke kanan.

Jadi (-2) - (-3) = 1

i) 2 - (-3) = ....

Gambar bilangan 2 dan bilangan -3 berupa anak-anak panah yang dimulai dari titik 0.

Operasi penjumlahan (+) artinya anak panah lama dilanjutkan anak panah baru

Operasi pengurangan (-) artinya anak panah dilanjutkan pada arah berlawanan anak panah baru

2 kalau ditambahkan -3 hasilnya

Tapi karena 2 dikurangi -3 maka anak panah -3 nya harus dibalik arah

Hasilnya adalah anak panah yang panjangnya 5 satuan, arahnya ke kanan.

Jadi 2 - (-3) = 5

j) (-2) - 3 = ....

Gambar bilangan 2 dan bilangan -3 berupa anak-anak panah yang dimulai dari titik 0.

Operasi penjumlahan (+) artinya anak panah lama dilanjutkan anak panah baru

Operasi pengurangan (-) artinya anak panah dilanjutkan pada arah berlawanan anak panah baru

(-2) kalau ditambahkan 3 hasilnya

Tapi karena (-2) dikurangi 3 maka anak panah 3 nya harus dibalik arah

Hasilnya adalah anak panah yang panjangnya 5 satuan, arahnya ke kiri.

Jadi (-2) - 3 = -5

Benefit of Whole number

Misal kita sebut ketinggian di permukaan laut 0 meter, maka letak rumah, pohon dan benda-benda di atas permukaan laut dapat dinyatakan dengan suatu ketinggian 1 m, 2 m, dst. Bagaimana dengan yang di bawah permukaan laut?

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Kita dapat mengatakan misalnya “kerang berada pada kedalaman 7 m di bawah permukaan air laut”. Akan tetapi ini terlalu panjang, dengan simbol bilangan negatif kita dapat mengatakan bahwa letak kerang adalah -7 m. Jadi, kita menggunakan bilangan negatif untuk yang di bawah permukaan air laut.

Ketinggian tepat pada permukaan tanah dianggap 0 m, di atas permukaan tanah menggunakan bilangan positif, dan di bawah permukaan tanah menggunakan bilangan negatif.

Pada Termometer, 0^oC adalah suhu air membeku. Jika lebih panas dari suhu air membeku dianggap positif dan jika lebih dingin dari suhu air membeku dianggap negatif.

Valley and Hill concept

Pada bagian ini kita akan menggunakan konsep gunung dan lembah.

Gunung melambangkan bilangan positif

Nilai bilangan menyatakan banyak gunung

Misal +3 menyatakan 1 gunung

Lembah melambangkan bilangan negatif

Nilai bilangan menyatakan banyak lembah

Misal -1 menyatakan 1 lembah

Tanah datar melambangkan 0

1 gunung + 1 lembah menjadi tanah datar yang nilainya sama dengan 0

Tanah datar dapat dijadikan 1 gunung + 1 lembah, 2 gunung + 2 lembah, 50 gunung + 50 lembah dst.

Contoh:

Tiga gunung menyatakan bilangan 3

Tiga lembah menyatakan bilangan -3

Addition and subtraction

Pada bagian ini kita akan melakukan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dengan memanfaatkan konsep gunung dan lembah.

Kita bagi operasi penjumlahan dan pengurangan ini dalam beberapa jenis.

1) Penjumlahan Sejenis

a. 2 + 3 =....

2 diwakili oleh 2 gunung

3 diwakili oleh 3 gunung

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

2 gunung ditambahkan 3 gunung menjadi 5 gunung

2 + 3 = 5

b. (-2) + (-3) = ....

-2 diwakili oleh 2 lembah

-3 diwakili oleh 3 lembah

2 lembah ditambahkan 3 lembah menjadi 5 lembah

(-2) + (-3) = -5

2) Penjumlahan Berlainan Jenis

a) 2 + (-3) =....

2 diwakili oleh 2 gunung

-3 diwakili oleh 3 lembah

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Karena 2 gunung ditambah 2 lembah hasilnya tanah datar, maka

2 gunung ditambahkan 3 lembah hasilnya 1 lembah

2 + (-3) = -1

b) (-2) + 3 =....

-2 diwakili oleh 2 lembah

3 diwakili oleh 3 gunung

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Karena 2 lembah ditambahkan 2 gunung hasilnya tanah datar, maka

2 lembah ditambahkan 3 gunung hasilnya 1 gunung

(-2) + 3 = 1.

3) Pengurangan Sejenis dan Cukup

a) 3 – 2 =....

3 diwakili oleh 3 gunung

2 diwakili oleh 2 gunung

3 gunung diambil 2 gunung hasilnya adalah 1 gunung.

3 – 2 = 1.

b) (-3) – (-2) = ....

-3 diwakili oleh 3 lembah

-2 diwakili oleh 2 lembah

3 lembah diambil 2 lembah hasilnya adalah 1 lembah.

(-3) – (-2) = -1.

4) Pengurangan Sejenis dan Tidak Cukup

a) 2 – 3 =....

2 diwakili oleh 2 gunung

3 diwakili oleh 3 gunung

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

2 gunung diambil 3 gunung.

Ini tidak cukup

Perlu membuat galian yang menghasilkan 1 gunung dan 1 lembah

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Total sekarang 3 gunung dan 1 lembah

3 gunung diambil, maka yang tersisa adalah 1 lembah.

2 – 3 = - 1.

b) (-2) – (-3) = ....

-2 diwakili oleh 2 lembah

-3 diwakili oleh 3 lembah

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

2 lembah diambil 3 lembah.

Ini tidak cukup

Perlu membuat galian yang menghasilkan 1 gunung dan 1 lembah

Total sekarang 3 lembah dan 1 gunung

3 lembah diambil, maka yang tersisa adalah 1 gunung.

(-2) – (-3) = 1.

5) Pengurangan Berlainan Jenis

a) 2 – (-3) =....

-2 diwakili oleh 2 lembah

-3 diwakili oleh 3 lembah

2 gunung diambil 3 lembah.

Ini tidak bisa

Perlu membuat galian yang menghasilkan 3 gunung dan 3 lembah

Total sekarang 3 lembah dan 5 gunung

3 lembah diambil, maka yang tersisa adalah 5 gunung.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

2 – (-3) = 5.

b) (-2) – 3 = ....

-2 diwakili oleh 2 lembah

3 diwakili oleh 3 gunung

2 lembah diambil 3 gunung.

Ini tidak bisa

Perlu membuat galian yang menghasilkan 3 gunung dan 3 lembah

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Total sekarang 5 lembah dan 3 gunung

3 gunung diambil, maka yang tersisa adalah 5 lembah.

(-2) – 3 = - 5.

Cara cepat penjumlahan dan pengurangan

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Lingkari angka 3 dan angka +5.

Disini kita punya 3 gunung dan 5 gunung

Hasilnya 3 gunung + 5 gunung = 8 gunung.

3 + 5 = 8

Lingkari angka 3 dan angka -5.

Disini kita punya 3 gunung dan 5 lembah

Disini lebih banyak lembah, sehingga hasilnya adalah lembah.

Banyak lembah = bilangan lebih besar - bilangan lebih kecil = 5 - 3 = 2

Hasilnya 2 lembah.

3 - 5 = -2

Lingkari angka -3 dan angka +5.

Disini kita punya 3 lembah dan 5 gunung.

Disini lebih banyak gunung, sehingga hasilnya adalah gunung.

Banyak lembah = bilangan lebih besar - bilangan lebih kecil = 5 - 3 = 2

Hasilnya 2 gunung

-3 + 5 = 2

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Lingkari angka -3 dan angka -5.

Disini kita punya 3 lembah dan 5 lembah

Hasilnya ada 3 lembah + 5 lembah = 8 lembah

-3 - 5 = - 8

Lingkari angka 123 dan angka +110.

Disini kita punya 123 gunung dan 110 gunung

Hasilnya ada 123 gunung + 110 gunung = 233 gunung.

123 + 110 = 233

Lingkari angka 123 dan angka -185.

Disini kita punya 123 gunung dan 185 lembah.

Disini lebih banyak lembah, sehingga hasilnya adalah lembah.

Banyak lembah = bilangan lebih besar - bilangan lebih kecil = 185 - 123 = 62

Hasilnya 62 lembah

123 - 185 = -62

Lingkari angka -135 dan angka +197.

Disini kita punya 135 lembah dan 197 gunung.

Disini lebih banyak gunung, sehingga hasilnya adalah gunung.

Banyak gunung = bilangan lebih besar - bilangan lebih kecil = 197 - 135 = 62

Hasilnya 62 gunung

-135 + 197 = 62

Lingkari angka -94 dan angka -15.

Disini kita punya 94 lembah dan 15 lembah

Hasilnya ada 94 lembah + 15 lembah = 109 lembah

-94 - 15 = - 109

Aktivitas 1 berlatih penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat

Tujuan: Siswa menuliskan dengan cepat hasil penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat

Siswa mengerjakan dari buku Pengurangan dan Pembagian (buku 3) Latihan 18a-c

Multiplication

Dalam bab ini kita akan melakukan perkalian bilangan bulat dengan memanfaatkan konsep gunung dan lembah.

Kita bahas 4 jenis perkalian

a) 3 x 2 =....

3 x 2 artinya 3 kotak isi 2 gunung (dari definisi perkalian)

Hasilnya adalah 2 gunung + 2 gunung + 2 gunung = 6 gunung

3 x 2 = 6

b) 3 x (-2)=....

3 x (-2) artinya 3 kotak isi 2 lembah (dari definisi perkalian)

Hasilnya adalah 2 lembah + 2 lembah + 2 lembah = 6 lembah

3 x (-2) = -6

c) (-3) × 2 =....

3 x 2 artinya ada 3 kotak isinya masing-masing 2 gunung

(-3) x 2 artinya ada 3 anti kotak isinya masing-masing 2 gunung

Disini kita belajar konsep anti kotak.

Anti kotak mengubah gunung menjadi lembah dan sebaliknya mengubah lembah menjadi gunung

Dalam anti kotak terdapat 2 gunung + 2 gunung + 2 gunung = 6 gunung

Anti kotak akan merubah gunung jadi lembah

Hasilnya adalah 6 lembah

(-3) x 2 = -6

Cara lain

Sifat komutatif perkalian

karena 2 x 3 = 3 x 2

maka 2 x (-3) = -3 x 2

Melihat Pola

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Mulai dari 3 x 2 = 6.

Perhatikan hasil perkalian pada baris berikutnya berkurang 2.

Dengan demikian kita bisa peroleh (-3) × 2 = -6.

d) (-3) × (-2) = ....

3 x (-2) artinya ada 3 kotak isinya masing-masing 2 lembah

(-3) x (-2) artinya ada 3 anti kotak isinya masing-masing 2 lembah

Disini kita belajar konsep anti kotak.

Anti kotak mengubah gunung menjadi lembah dan sebaliknya mengubah lembah menjadi gunung

Dalam anti kotak terdapat 2 lembah + 2 lembah + 2 lembah = 6 lembah

Anti kotak akan merubah lembah jadi gunung

Hasilnya adalah 6 gunung

(-3) x (-2) = 6

Cara lain

Melihat pola

Mulai dari 3 x (-2) = -6.

Perhatikan hasil perkalian pada baris berikutnya bertambah 2.

Dengan demikian kita bisa peroleh (-3) × (-2) = 6.

Kesimpulan

Untuk perkalian bilangan bulat berlaku

Aktivitas 2 berlatih perkalian bilangan bulat

Tujuan: Siswa menuliskan dengan cepat hasil perkalian bilangan bulat

Siswa mengerjakan dari buku Pengurangan dan Pembagian (buku 3) Latihan 19

Division

Kita akan melakukan operasi pembagian dengan menggunakan konsep gunung dan lembah.

Contoh:

a) 6 ÷ 2 =...

Artinya 6 gunung hendak dibagikan ke dalam 2 kotak, masing-masing kotak menerima berapa gunung?

Jawabnya adalah 3 gunung

jadi 6 : 2 = 3

b) (-6) ÷ 2 =...

Artinya 6 lembah hendak dibagikan ke dalam 2 kotak, masing-masing kotak menerima berapa lembah?

Jawabnya adalah 3 lembah

jadi (-6) : 2 = -3

c) 6 ÷ (-2) =...

Artinya 6 gunung hendak dibagikan ke dalam 2 anti kotak, masing-masing anti kotak menerima berapa gunung?

Jawabnya adalah 3 gunung

Namun anti kotak akan mengubah gunung jadi lembah. Sehingga hasilnya 3 lembah

jadi 6 : (-2) = -3

d) -6 ÷ (-2) =...

Artinya 6 lembah hendak dibagikan ke dalam 2 anti kotak, masing-masing anti kotak menerima berapa lembah?

Jawabnya adalah 3 lembah

Namun anti kotak akan mengubah lembah jadi gunung. Sehingga hasilnya 3 gunung

jadi -6 : (-2) = 3

Aktivitas 2 berlatih pembagian bilangan bulat

Tujuan: Siswa menuliskan dengan cepat hasil pembagian bilangan bulat

Siswa mengerjakan dari buku Pengurangan dan Pembagian (buku 3) Latihan 20