Gaber pecahan 1

Gasing Berhitung: Pecahan

Untuk belajar pecahan kita perlu melewati beberapa langkah sebagai berikut:

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

1. Arti pecahan
2. Pecahan senilai dan penyederhanaan pecahan
3. Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama atau berbeda
4. Konsep ‘SATU’ dan pecahan adalah bagi
5. Pecahancampuran
6. Titik kritis GASING

Untuk titik kritis Gasing dalam operasi penjumlahan dan pengurangan adalah siswa mampu mengerjakan 4 jenis operasi ini secara cepat.

Selanjutnya setelah menguasai operasi penjumlahan dan pengurangan, maka operasi perkalian dan pembagian pecahan dapat dilakukan dengan mudah.

Arti Pecahan

Pecahan adalah suatu simbol yang terdiri dari 2 angka yang dipisahkan oleh satu garis.

Pecahan ini adalah simbol yang tidak punya arti apa-apa kalau tidak diberi konteks.

Sama seperti bilangan bulat, bilangan bulat itu hanyalah simbol-simbol berupa angka 0,1,2, 3...9 yang tidak ada makna apa-apa kalau tidak diberi konteks.

Maksudnya apa?

Misalnya

5 Jeruk.

Konteksnya adalah jeruk.

Ketika 5 dihubungkan dengan jeruk, maka 5 itu menunjukan jumlah jeruk sebanyak lima buah.

Bagaimana memberi konteks pecahan?

Error creating thumbnail: File missing

Pada gambar di atas, angka 1 kita beri konteks batang (berat atau panjangnya).

Gambar pertama ada 1 batang. Kita sebut nilai batang ini adalah 1 batang.

1 Batang pada gambar pertama kita potong menjadi 2 bagian yang sama nilainya.

Satu potongan kita sebut nilainya ${\frac {1}{2}}$ batang.

${\frac {1}{2}}$ diartikan sebagai nilai satu bagian dari satu kelompok yang terdiri dari dua bagian yang sama nilainya.

Bagaimana jika 1 batang pada gambar pertama itu kita potong menjadi 4 bagian yang sama nilainya.

Satu bagian dari potongan ini kita sebut nilainya ${\frac {1}{4}}$ batang.

${\frac {1}{4}}$ diartikan sebagai nilai satu bagian dari satu kelompok yang terdiri dari empat bagian yang sama nilainya.

Contoh lain:

Ada 1 jeruk dipotong menjadi 2 bagian yang sama besar.

1 bagian jeruk nilainya adalah ${\frac {1}{2}}$ jeruk.

Karena ini menunjukan satu bagian dari satu kelompok yang terdiri dari dua bagian jeruk yang sama nilainya.

Sekarang perhatikan gambar berikut ini:

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Apakah potongan kuning atau potongan merah ini bernilai ${\frac {1}{2}}$ Jawabnya bisa ya bisa tidak tergantung konteksnya atau nilainya.

Jika konteksnya adalah warna benda, maka potongan kuning ini bernilai ${\frac {1}{2}}$ karena ini adalah satu warna dari satu kelompok yang terdiri dari dua warna (putih dan kuning) yang sama nilainya. Dalam hal ini nilainya adalah warna benda.

Hal yang sama berlaku untuk potongan merah.

Tetapi kalau konteksnya adalah luas benda, maka potongan kuning maupun potongan merah tidak bernilai ${\frac {1}{2}}$

Batang kuning dibagi menjadi 3 bagian sama besar

Tiap bagian bernilai ${\frac {1}{3}}$

${\frac {1}{3}}$ menunjukan nilai 1 bagian dari satu kelompok yang terdiri dari 3 bagian yang sama nilainya.

Batang ungu dibagi menjadi 4 bagian sama besar

Tiap bagian bernilai ${\frac {1}{4}}$

${\frac {1}{4}}$ menunjukan nilai 1 bagian dari satu kelompok yang terdiri dari 4 bagian yang sama nilainya.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

1 Lingkaran dibagi menjadi 8 bagian sama besar

Bagian yang berwarna kuning bernilai ${\frac {3}{8}}$

${\frac {3}{8}}$ menunjukan nilai 3 bagian dari satu kelompok yang terdiri dari 8 bagian yang sama besar.

${\frac {1}{2}}$ dibaca “1 garis 2” atau “1 per 2”.

Angka yang diatas dinamakan pembilang

Angka yang dibawah dinamakan penyebut

Lihat video berikut ini mengenai konsep pecahan.

{{#ev:YouTube |id= C4gB6iA70l4 |width=640 |height=400 }}

• Aktivitas 1

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai konsep pecahan

Mengerjakan Latihan 1a dari buku Pecahan (buku 4)

• Aktivitas 2

Peserta membuat group 10 orang. Kemudian sebagian (misalnya 3 orang) berdiri dan sisanya duduk. Kita katakan orang yang berdiri nilainya adalah 3/10. Karena 3 orang dari kelompok yang terdiri dari 10 orang manusia yang nilainya sama yaitu sama-sama manusia.

Pecahan Senilai

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Batang kuning atas bernilai ${\frac {1}{2}}$

Batang kuning bawah bernilai ${\frac {2}{4}}$

Kedua batang tersebut sama besar (sama nilainya) sehingga kita katakan keduanya senilai.

${\frac {1}{2}}$ senilai ${\frac {2}{4}}$

${\frac {1}{2}}$ = ${\frac {2}{4}}$

Perhatikan:${\frac {1}{2}}$ dan ${\frac {2}{4}}$ nilainya sama walaupun artinya berbeda

${\frac {1}{2}}$ artinya nilai 1 bagian dari kelompok yang terdiri dari 2 bagian yang sama nilainya

${\frac {2}{4}}$ artinya nilai 2 bagian dari kelompok yang terdiri dari 4 bagian yang sama nilainya

Pada batang merah jambu

${\frac {1}{2}}$ = ${\frac {2}{4}}$ = ${\frac {3}{6}}$ = ${\frac {4}{8}}$ = ${\frac {5}{10}}$ = ${\frac {6}{12}}$

Pecahan ini semua bernilai sama

Pada batang hijau

${\frac {1}{3}}$ = ${\frac {2}{6}}$ = ${\frac {3}{9}}$ = ${\frac {4}{12}}$

Pecahan ini semua bernilai sama

bagaimana mendapatkan pecahan senilai?

Dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Perhatikan beberapa contoh pecahan senilai dalam video dibawah ini.

{{#ev:YouTube |id= PoTTD3yRsEg |width=640 |height=400 }}

• Aktivitas 2

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai pecahan senilai

Mengerjakan Latihan 2 dari buku Pecahan (buku 4)

Menyederhanakan Pecahan

Pecahan ::${\frac {24}{48}}$ dapat disederhanakan menjadi ${\frac {12}{24}}$

Tapi bisa juga disederhanakan menjadi

${\frac {6}{12}}$

${\frac {4}{8}}$

${\frac {2}{4}}$

Atau

${\frac {1}{2}}$

Dari pecahan-pecahan senilai itu adalah yang nilai pembilang dan penyebutnya terkecil yaitu ${\frac {1}{2}}$.

Pecahan dengan pembilang dan penyebutnya terkecil ini dinamakan pecahan sederhana.

Proses membuat suatu pecahan menjadi pecahan sederhana dinamakan proses penyederhanaan pecahan.

Misal

${\frac {12}{18}}$ dapat disederhanakan menjadi ${\frac {2}{3}}$

Cara menyederhanakan pecahan adalah membagi pembilang dan penyebut dengan suatu bilangan yang sama.

Untuk menyederhanakan ::${\frac {6}{9}}$ menjadi ${\frac {2}{3}}$ kita dapat membagi pembilang dan penyebutnya dengan 3.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Untuk menyederhanakan ${\frac {12}{18}}$ menjadi ${\frac {2}{3}}$ kita dapat membagi pembilang dan penyebutnya dengan 6.

Error creating thumbnail: File missing

Untuk bilangan yang agak besar, kita dapat membagi pembilang dan penyebutnya berulang-ulang sampai kita dapat pecahan yang paling sederhana.

Beberapa contoh menyederhanakan pecahan bisa dilihat dalam video ini

{{#ev:YouTube |id= PS1leZn06us |width=640 |height=400 }}

• Aktivitas 3

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai pecahan senilai

Mengerjakan Latihan 3 dari buku Pecahan (buku 4)

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan dengan Penyebut sama

Penjumlahan

Disini kita membatasi pembahasan pada nilai pembilang tidak melebihi nilai penyebut.

Gambar ini adalah pecahan ${\frac {2}{8}}$

${\frac {2}{8}}$ menunjukan nilai 2 bagian dari suatu kelompok yang terdiri dari 8 bagian yang sama nilainya

Kemudian kita tambahkan ${\frac {2}{8}}$

Kemudian kita tambahkan ${\frac {1}{8}}$

Hasilnya dengan mudah terlihat ${\frac {3}{8}}$

${\frac {3}{8}}$ menunjukan 3 bagian dari suatu kelompok yang terdiri dari 8 bagian yang sama nilainya.

Contoh lain:

Apa yang kita bisa simpulkan?

Dalam menjumlahkan pecahan dengan penyebut sama, kita hanya menambahkan pembilangnya saja sedangkan penyebut (atau kelompoknya) tetap sama.

Lihat video beberapa contoh penjumlahan pecahan dengan penyebut sama

{{#ev:YouTube |id= rJm6Rb-47eI |width=640 |height=400 }}

• Aktivitas 4

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai pecahan senilai

Mengerjakan Latihan 4 dari buku Pecahan (buku 4)

Pengurangan

3 kotak biru dalam gambar ini menunjukan pecahan ${\frac {3}{5}}$

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

${\frac {3}{5}}$ menunjukan nilai 3 bagian dari suatu kelompok yang terdiri dari 5 bagian yang sama nilainya.

Kemudian kita ambil dua kotak biru

${\frac {3}{5}}$ - ${\frac {2}{5}}$

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Hasilnya terlihat sama dengan ${\frac {1}{5}}$

${\frac {1}{5}}$ menunjukan nilai 1 bagian dari suatu kelompok yang terdiri dari 5 bagian yang sama nilainya.

Contoh lain:

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Apa yang kita bisa simpulkan?

Dalam melakukan pengurangan pecahan dengan penyebut sama, kita hanya mengurangkan pembilangnya saja sedangkan penyebut (atau kelompoknya) tetap sama.

Lihat video untuk beberapa contoh pengurangan dengan penyebut sama.

{{#ev:YouTube |id= k-N2vsimlQY |width=640 |height=400 }}

• Aktivitas 5

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai pengurangan dengan penyebut sama

Mengerjakan Latihan 14 dari buku Pecahan (buku 4)

Konsep SATU

Ini 1 jeruk, kita potong menjadi 2 bagian yang sama besar.

Satu bagian jeruk ini nilainya adalah ${\frac {1}{2}}$ jeruk.

Karena itu maka

${\frac {1}{2}}$ (jeruk) + ${\frac {1}{2}}$ (jeruk) = 1 (jeruk)

Atau kita hilangkan konteksnya, kita peroleh

${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{2}}$ = 1

Namun kita tahu bahwa

${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{2}}$ = ${\frac {2}{2}}$

Sehingga kita bisa simpulkan bahwa

${\frac {2}{2}}$ = 1

Contoh lain

Kita punya 1 batang kuning, kemudian batang itu kita potong menjadi 4 bagian yang sama nilainya.

Berapa seperempat batang kuning ditambah seperempat batang kuning ditambah seperempat batang kuning ditambah seperempat batang kuning ?

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Jawabnya 1 batang kuning

${\frac {1}{4}}$ (batang kuning) + ${\frac {1}{4}}$ (batang kuning) + ${\frac {1}{4}}$ (batang kuning) + ${\frac {1}{4}}$ (batang kuning)= 1 (batang kuning)

Namun kita tahu bahwa

${\frac {1}{4}}$ + ${\frac {1}{4}}$ +${\frac {1}{4}}$ + ${\frac {1}{4}}$ = ${\frac {4}{4}}$

Sehingga boleh dikatakan bahwa

${\frac {4}{4}}$ = 1

karena ${\frac {2}{2}}$ = 1 dan ${\frac {4}{4}}$ = 1 maka kita boleh tuliskan,

${\frac {2}{2}}$ = ${\frac {4}{4}}$ = ${\frac {10}{10}}$ = ${\frac {178}{178}}$ = 1

Jadi bisa disimpulkan bahwa dalam pecahan arti bilangan 1 adalah sebagai berikut

1 adalah nilai 2 bagian dari satu kelompok yang terdiri dari 2 bagian yang sama nilainya.

1 adalah nilai 3 bagian dari satu kelompok yang terdiri dari 3 bagian yang sama nilainya.

1 adalah nilai 5 bagian dari satu kelompok yang terdiri dari 5 bagian yang sama nilainya.

Video berikut ini menjelaskan konsep "satu'

{{#ev:YouTube |id= U8rmQGhGgew |width=640 |height=400 }}

• Aktivitas 6

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai konsep "satu"

Mengerjakan Latihan 5 dari buku Pecahan (buku 4)

Pecahan adalah Bagi

Apakah pecahan itu adalah bagi?

Apakah ${\frac {1}{2}}$ = 1 ÷ 2 ?

Untuk menjawab ini, mari kita lihat gambar ini

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Disini kita punya 1 kue berwarna hijau. Kue ini hendak dimasukan dalam 2 kotak secara adil, berapa isi masing-masing kotak?

Untuk itu kita menuliskannya dalam bentuk 1 ÷ 2 = ?

Jawabnya: isi masing-masing kotak adalah separuh kue

Sekarang kita perhatikan gambar separuh kue.

Menurut definisi pecahan,

separuh atau setengah kue menunjukan nilai 1 bagian dari satu kue yang terdiri dari dua bagian yang sama nilainya.

Ini ditulis ${\frac {1}{2}}$ kue

Jadi kita bisa katakan bahwa

Separuh kue adalah hasil pembagian dari 1 kue dibagi 2

Separuh kue sama dengan ${\frac {1}{2}}$ kue

Dengan demikian kita bisa katakan bahwa

:: 1 kue ÷ 2 nilainya sama  dengan  ${\frac {1}{2}}$ kue

ditulis

1 ÷ 2 = ${\frac {1}{2}}$

Ini juga berlaku untuk pecahan-pecahan lain seperti:

${\frac {1}{5}}$ nilainya sama dengan 1 dibagi 5

${\frac {1}{7}}$ nilainya sama dengan 1 dibagi 7

${\frac {1}{12}}$ nilainya sama dengan 1 dibagi 12

Sekarang kalau pembilangnya bukan 1, apakah "pecahan itu nilainya sama dengan pembagian" masih berlaku?

Apakah ${\frac {4}{2}}$ nilainya sama dengan 4 dibagi 2 ?

Untuk hal ini kita lihat pelajaran sebelumnya tentang 1.

pada pelajaran sebelumnya 1 boleh didefinisikan sebagai nilai 2 bagian dari suatu kelompok yang terdiri dari 2 bagian yang sama besar.

Atau

1 = ${\frac {2}{2}}$

Dengan hasil itu kita bisa menulis,

${\frac {4}{2}}$ = ${\frac {2}{2}}$ + ${\frac {2}{2}}$

${\frac {4}{2}}$ = 1 + 1 = 2

Ternyata ${\frac {4}{2}}$ = 2!

pembagian 4 ÷ 2 hasilnya adalah 2 juga

Dengan demikian maka bisa dikatakan

${\frac {4}{2}}$ nilainya sama dengan 4 dibagi 2 = 2

Jadi pecahan itu mempunyai kaitan yang erat dengan pembagian. Keduanya mempunyai nilai yang sama walaupun secara konsep berbeda.

Untuk jelasnya lihat video berikut ini

{{#ev:YouTube |id= raii20Dvoxg |width=640 |height=400 }}

• Aktivitas 7

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai konsep pecahan dan bagi

Mengerjakan Latihan 7 dari buku Pecahan (buku 4)

Pecahan Majemuk

Berapa ${\frac {2}{3}}$ + ${\frac {2}{3}}$?

${\frac {2}{3}}$ + ${\frac {2}{3}}$ = ${\frac {4}{3}}$

Kita bisa sederhanakan pecahan ${\frac {2}{3}}$ dengan menggunakan konsep satu atau konsep pecahan dan bagi.

${\frac {4}{3}}$ = ${\frac {3}{3}}$ + ${\frac {1}{3}}$

Karena ${\frac {3}{3}}$ = 1, maka

${\frac {4}{3}}$ = 1 + ${\frac {1}{3}}$ = 1${\frac {1}{3}}$

Dimana kita definisikan bilangan bulat + pecahan sebagai bilangan bulat pecahan

bentuk bilangan bulat pecahan seperti 1${\frac {1}{3}}$ dinamakan pecahan campuran atau pecahan majemuk.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

${\frac {5}{3}}$ = ${\frac {3}{3}}$ + ${\frac {2}{3}}$ = 1${\frac {2}{3}}$

${\frac {7}{5}}$ = ${\frac {5}{5}}$ + ${\frac {2}{5}}$ = 1${\frac {2}{5}}$

${\frac {12}{7}}$ = ${\frac {7}{7}}$ + ${\frac {5}{7}}$ = 1${\frac {5}{12}}$

${\frac {25}{23}}$ = ${\frac {23}{23}}$ + ${\frac {2}{23}}$ = 1${\frac {2}{23}}$

${\frac {7}{2}}$ = ${\frac {6}{2}}$ + ${\frac {1}{2}}$ = 3${\frac {1}{2}}$

${\frac {11}{3}}$ = ${\frac {9}{3}}$ + ${\frac {2}{3}}$ = 3${\frac {2}{3}}$

Perhatikan contoh dalam video berikut

{{#ev:YouTube |id= RFgSVEUixCc |width=640 |height=400 }}

• Aktivitas 8

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai pecahan majemuk

Mengerjakan Latihan 6 dari buku Pecahan (buku 4)

Penjumlahan dan Pengurangan dengan Penyebut berbeda

Pada bagian ini kita akan melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dengan penyebut berbeda.

Penjumlahan Pecahan

Bagaimana menghitung ${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{3}}$ ?

Disini penyebutnya berbeda.

Kita harus ubah penyebutnya sehingga sama.

Bagaimana caranya?

Kita lihat konkretnya dulu

Ini ada batang ${\frac {1}{2}}$ hendak ditambahkan dengan batang ${\frac {1}{3}}$.

Error creating thumbnail: File missing

Agar kedua batang ini bisa dijumlahkan maka kelompoknya harus disamakan.

Cara menyamakan kelompok adalah sebagai berikut:

Pada pecahan ${\frac {1}{2}}$, tiap bagian kita potong menjadi 3 bagian yang identik. Sehingga kelompoknya menjadi kelompok 6.

Pada pecahan ${\frac {1}{3}}$, tiap bagian kita potong menjadi 2 bagian yang identik. Sehingga kelompoknya menjadi kelompok 6.

Nah sekarang kedua pecahan mempunyai kelompok yang sama.

Error creating thumbnail: File missing

Secara abstrak ini dituliskan

${\frac {1}{2}}$ dijadikan ${\frac {3}{6}}$

${\frac {1}{3}}$ dijadikan ${\frac {2}{6}}$

Sehingga kita peroleh

${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{3}}$ = ${\frac {3}{6}}$ + ${\frac {2}{6}}$ = ${\frac {5}{6}}$

Cara Konkret lain adalah menggunakan Papan pecahan.

Misal kita akan menghitung ${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{3}}$ =

Ini adalah Papan pecahan.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Pertama kita lihat batang mana yang besarnya sama dengan batang ${\frac {1}{2}}$.

Ternyata ${\frac {1}{2}}$ = ${\frac {2}{4}}$ = ${\frac {3}{6}}$ = ${\frac {4}{8}}$ = ${\frac {5}{10}}$ dst (bagian yang berwarna biru)

Kemudian kita lihat batang mana yang besarnya sama dengan batang ${\frac {1}{3}}$

Ternyata ${\frac {1}{3}}$ = ${\frac {2}{6}}$ = ${\frac {3}{9}}$ = ${\frac {4}{12}}$ dst (bagian yang berwarna merah)

Kita lihat mana penyebut yang sama dari kedua kelompok ini?

Jawabnya adalah 6.

Kita gabungkan kedua nilai pecahan diatas seperti pada gambar

Jadi ${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{3}}$ = ${\frac {5}{6}}$

Cara lain (abstrak) mendapat penyebut 6 untuk soal di atas.

Cara termudah adalah

Mengalikan penyebut pecahan yang dijumlahkan yaitu 3 x 2

Cara lain:

Dengan mencari bilangan terkecil yang bisa dibagi 2 dan bisa dibagi 3.

Apakah penyebutnya boleh 12? Bukankah 12 juga bisa dibagi 2 atau dibagi 3?

Boleh namun hasilnya nanti kamu harus sederhanakan lagi

${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{3}}$ = ${\frac {6}{12}}$ + ${\frac {4}{12}}$ = ${\frac {10}{12}}$ = ${\frac {5}{6}}$

Kita boleh mengubah pecahan menjadi 6, 12, 18, 24 dsb. Tetapi sebaiknya ambil yang terkecil yaitu 6.

Bagaimana menghitung ${\frac {1}{4}}$ + ${\frac {1}{6}}$ = ?

Kita ubah penyebutnya menjadi 4 x 6 = 24

${\frac {1}{4}}$ + ${\frac {1}{6}}$ = ${\frac {6}{24}}$ + ${\frac {4}{24}}$ = ${\frac {10}{24}}$ = ${\frac {5}{12}}$

Atau

cari bilangan yang bisa dibagi 4 dan 6. Dalam hal ini bilangannya adalah 12, 24, 36 dsb.

Kita pilih bilangan yang terkecil yaitu 12.

${\frac {1}{4}}$ + ${\frac {1}{6}}$ = ${\frac {3}{12}}$ + ${\frac {2}{12}}$ = ${\frac {5}{12}}$

Bagaimana dengan ${\frac {2}{5}}$ + ${\frac {3}{10}}$ = ?

kita ubah penyebutnya menjadi 5 x 10 = 50

${\frac {2}{5}}$ + ${\frac {3}{10}}$ = ${\frac {20}{50}}$ + ${\frac {15}{50}}$ = ${\frac {35}{50}}$ = ${\frac {7}{10}}$

Atau

Cari bilangan yang bisa dibagi 5 dan bisa dibagi 10. Dalam hal ini bilangannya adalah 10, 20, 30, 40 dst..

Kita pilih bilangan yang terkecil yaitu 10

${\frac {2}{5}}$ + ${\frac {3}{10}}$ = ${\frac {4}{10}}$ + ${\frac {3}{10}}$ = ${\frac {7}{10}}$

Berikut ini adalah beberapa contoh penjumlahan pecahan

{{#ev:YouTube |id= 1iqMwdBkLf8 |width=640 |height=400 }}

1

Penjumlahan cepat

Perhatikan ${\frac {2}{5}}$ + ${\frac {3}{10}}$ =

Penyebutnya dijadikan 5 x 10

${\begin{array}{lcl}{\frac {2}{5}}+{\frac {3}{10}}&=&{\frac {2\times 10}{5\times 10}}+{\frac {3\times 5}{10\times 5}}\\&=&{\frac {20}{50}}+{\frac {15}{50}}\\&=&{\frac {35}{50}}\\&=&{\frac {7}{10}}\end{array}}$

Lihat beberapa contoh berikut

a) ${\frac {4}{5}}$ + ${\frac {2}{3}}$ =

Penyebutnya dijadikan 5 x 3

${\begin{array}{lcl}{\frac {4}{5}}+{\frac {2}{3}}&=&{\frac {4\times 3}{5\times 3}}+{\frac {2\times 5}{3\times 5}}\\&=&{\frac {12}{15}}+{\frac {10}{15}}\\&=&{\frac {22}{15}}\\&=&1{\frac {7}{15}}\end{array}}$

b) ${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {3}{4}}$ =

Penyebutnya dijadikan 2 x 4

${\begin{array}{lcl}{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{4}}&=&{\frac {1\times 4}{2\times 4}}+{\frac {3\times 2}{4\times 2}}\\&=&{\frac {4}{8}}+{\frac {6}{8}}\\&=&{\frac {10}{8}}\\&=&{\frac {5}{4}}\\&=&1{\frac {1}{4}}\end{array}}$

c) ${\frac {1}{3}}$ + ${\frac {3}{5}}$ =

Penyebutnya dijadikan 3 x 5

${\begin{array}{lcl}{\frac {1}{3}}+{\frac {3}{5}}&=&{\frac {1\times 5}{3\times 5}}+{\frac {3\times 3}{5\times 3}}\\&=&{\frac {5}{15}}+{\frac {9}{15}}\\&=&{\frac {14}{15}}\end{array}}$

d) ${\frac {2}{5}}$ + ${\frac {3}{7}}$ =

Penyebutnya dijadikan 5 x 7

${\begin{array}{lcl}{\frac {2}{5}}+{\frac {3}{7}}&=&{\frac {2\times 7}{5\times 7}}+{\frac {3\times 5}{7\times 5}}\\&=&{\frac {14}{35}}+{\frac {15}{35}}\\&=&{\frac {29}{35}}\end{array}}$

Ada cara yang dilakukan orang untuk mempercepat perhitungan yaitu dengan pola perkalian silang. Namun di Gasing kami tidak terlalu merekomendasikan cara ini. Karena anak jadi kehilangan konsep menjumlah atau mengurangi pecahan. Yang diingat adalah rumus.

Error creating thumbnail: Unable to save thumbnail to destination

Video berikut ini menunjukan beberapa contoh menyelesaikan penjumlahan pecahan dengan cara cepat.

{{#ev:YouTube |id= buzx2IqTY6o |width=640 |height=400 }}

• Aktivitas 9

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai penjumlahan pecahan dengan beda penyebut

Mengerjakan Latihan 11-12 dari buku Pecahan (buku 4)

Pengurangan Pecahan

Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda sama konsepnya dengan penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda.

Mereka yang sudah mahir penjumlahan pecahan akan sangat cepat mengerti pengurangan pecahan ini.

Misalnya bagaimana menghitung ${\frac {1}{4}}$ - ${\frac {1}{6}}$ = ?

Kita ubah penyebutnya menjadi 4 x 6 = 24

${\frac {1}{4}}$ - ${\frac {1}{6}}$ = ${\frac {6}{24}}$ - ${\frac {4}{24}}$ = ${\frac {2}{24}}$ = ${\frac {1}{12}}$

Atau

cari bilangan yang bisa dibagi 4 dan 6. Dalam hal ini bilangannya adalah 12, 24, 36 dsb.

Kita pilih bilangan yang terkecil yaitu 12.

${\frac {1}{4}}$ - ${\frac {1}{6}}$ = ${\frac {3}{12}}$ - ${\frac {2}{12}}$ = ${\frac {1}{12}}$

Bagaimana dengan ${\frac {2}{5}}$ - ${\frac {3}{10}}$ = ?

kita ubah penyebutnya menjadi 5 x 10 = 50

${\frac {2}{5}}$ - ${\frac {3}{10}}$ = ${\frac {20}{50}}$ - ${\frac {15}{50}}$ = ${\frac {5}{50}}$ = ${\frac {1}{10}}$

Atau

Cari bilangan yang bisa dibagi 5 dan bisa dibagi 10. Dalam hal ini bilangannya adalah 10, 20, 30, 40 dst..

Kita pilih bilangan yang terkecil yaitu 10

${\frac {2}{5}}$ - ${\frac {3}{10}}$ = ${\frac {4}{10}}$ - ${\frac {3}{10}}$ = ${\frac {1}{10}}$

Lihat video cara mengerjakan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda

{{#ev:YouTube |id= 11fENTTJJ4o |width=640 |height=400 }}

Pengurangan cara cepat

Pola pengurangan pecahan cara cepat sama dengan pola penjumlahan pecahan cara cepat.

Perhatikan ${\frac {2}{5}}$ - ${\frac {3}{10}}$ =

Penyebutnya dijadikan 5 x 10

${\begin{array}{lcl}{\frac {2}{5}}-{\frac {3}{10}}&=&{\frac {2\times 10}{5\times 10}}-{\frac {3\times 5}{10\times 5}}\\&=&{\frac {20}{50}}-{\frac {15}{50}}\\&=&{\frac {5}{50}}\\&=&{\frac {1}{10}}\end{array}}$

Bagaimana dengan ${\frac {4}{5}}$ - ${\frac {3}{7}}$ = ?

Penyebutnya dijadikan 5 x 7

${\begin{array}{lcl}{\frac {4}{5}}-{\frac {3}{7}}&=&{\frac {4\times 7}{5\times 7}}-{\frac {3\times 5}{7\times 5}}\\&=&{\frac {28}{35}}-{\frac {15}{35}}\\&=&{\frac {13}{35}}\end{array}}$

Lihat video berikut ini untuk beberapa contoh pengurangan cara cepat

{{#ev:YouTube |id= c3tZ95x8crc |width=640 |height=400 }}

• Aktivitas 10

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai penjumlahan pecahan dengan beda penyebut

Mengerjakan Latihan 15-16 dari buku Pecahan (buku 4)

Pecahan Negatif (cara cepat)

Konsep pecahan negatif, mirip dengan konsep bilangan bulat negatif.

Misalnya kita punya suatu garis bilangan. Tiap titik yang berdekatan berbeda ${\frac {1}{5}}$

Dari titik 0 ke kanan, nilai tiap titik berturut-turut adalah ${\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}}$ dst.

Dari titik 0 ke kiri, nilai tiap titik berturut-turut adalah $-{\frac {1}{5}},-{\frac {2}{5}},-{\frac {3}{5}}$ dst.

Operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan negatif, adalah seperti operasi bilangan bulat negatif.

Berikut ini adalah beberapa contoh operasi bilangan pecahan negatif.

a) $-{\frac {4}{5}}$ + ${\frac {3}{7}}$ =

Penyebutnya dijadikan 5 x 7

${\begin{array}{lcl}-{\frac {4}{5}}+{\frac {3}{7}}&=&{\frac {-4\times 7}{5\times 7}}+{\frac {3\times 5}{7\times 5}}\\&=&{\frac {-28}{35}}+{\frac {15}{35}}\\&=&{\frac {-13}{35}}\\&=&-{\frac {13}{35}}\end{array}}$

b) $-{\frac {4}{5}}$ - ${\frac {3}{7}}$ =

${\begin{array}{lcl}-{\frac {4}{5}}-{\frac {3}{7}}&=&{\frac {-4\times 7}{5\times 7}}-{\frac {3\times 5}{7\times 5}}\\&=&{\frac {-28}{35}}-{\frac {15}{35}}\\&=&{\frac {-43}{35}}\\&=&-1{\frac {8}{35}}\end{array}}$

Beberapa contoh penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan negatif dapat dilihat dalam video ini

{{#ev:YouTube |id= VpMnTBKeF6c |width=640 |height=400 }}

Pecahan Biasa dan Pecahan Majemuk

Pecahan Biasa ke Pecahan Majemuk

Bagaimana menyederhanakan pecahan yang pembilangnya besar tetapi penyebutnya kecil seperti ${\frac {44}{7}}$

kita gunakan konsep pecahan dan bagi.

44 ÷ 7 = 6 sisa 2

Hasil bilangan bulatnya kita ambil, dan sisanya kita jadikan pecahan ${\frac {2}{7}}$

${\frac {44}{7}}$ = 6${\frac {2}{7}}$

Mari kita buktikan

${\frac {44}{7}}$ = ${\frac {42}{7}}$ + ${\frac {2}{7}}$

${\frac {44}{7}}$ = 6 + ${\frac {2}{7}}$

${\frac {44}{7}}$ = 6 ${\frac {2}{7}}$

Perhatikan beberapa contoh ini

${\frac {43}{8}}=?$

43 ÷ 8 = 5 sisa 3

${\frac {43}{8}}$ = 5${\frac {3}{8}}$

${\frac {25}{4}}=?$

25 ÷ 4 = 6 sisa 1

${\frac {25}{4}}$ = 6${\frac {1}{4}}$

${\frac {101}{9}}=?$

101 ÷ 9 = 11 sisa 2

${\frac {101}{9}}$ = 11${\frac {2}{9}}$

Lihat beberapa contoh mengubah pecahan atau pecahan biasa menjadi pecahan majemuk dalam video berikut.

{{#ev:YouTube |id= kXpA84IhSJk |width=640 |height=400 }}

Pecahan Majemuk ke Pecahan Biasa

Bagaimana mengubah pecahan majemuk menjadi pecahan biasa atau pecahan murni?

Bagaimana mengubah 2${\frac {1}{2}}$ menjadi pecahan biasa?

Perhatikan langkah-langkahnya pada contoh berikut ini lalu lihat polanya dan buat kesimpulan

${\begin{array}{lcl}2{\frac {1}{2}}&=&2+{\frac {1}{2}}\\&=&{\frac {4}{2}}+{\frac {1}{2}}\\&=&{\frac {5}{2}}\end{array}}$

${\begin{array}{lcl}3{\frac {1}{3}}&=&3+{\frac {1}{3}}\\&=&{\frac {9}{3}}+{\frac {1}{3}}\\&=&{\frac {10}{3}}\end{array}}$

${\begin{array}{lcl}5{\frac {2}{7}}&=&5+{\frac {2}{7}}\\&=&{\frac {35}{7}}+{\frac {2}{7}}\\&=&{\frac {37}{7}}\end{array}}$

${\begin{array}{lcl}4{\frac {3}{5}}&=&4+{\frac {3}{5}}\\&=&{\frac {20}{5}}+{\frac {3}{5}}\\&=&{\frac {23}{5}}\end{array}}$

Video ini menunjukan contoh-contoh mengubah pecahan majemuk menjadi pecahan biasa.

{{#ev:YouTube |id= 49bF9cjeOY8 |width=640 |height=400 }}

• Aktivitas 11

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai penjumlahan pecahan dengan beda penyebut

Mengerjakan Latihan 9 - 10 dari buku Pecahan (buku 4)

Titik Kritis

Titik Kritis untuk pecahan dicapai kalau siswa sudah mampu menguasai penjumlahan dan pengurangan seperti berikut ini

Model 1 : $2+{\frac {5}{7}}$

Penjumlahan bilangan bulat dengan pecahan dapat dilakukan sebagai berikut:

$2+{\frac {5}{7}}$ = $2{\frac {5}{7}}$

$3+{\frac {3}{10}}$ = $3{\frac {3}{10}}$

$7+{\frac {2}{9}}$ = $7{\frac {2}{9}}$

$25+{\frac {5}{12}}$ = $25{\frac {5}{12}}$

Dapatkah Anda menemukan polanya?

Mudah kan?

{{#ev:YouTube |id= _2gcqSKbjD0 |width=640 |height=400 }}

Model 2 : $-2-{\frac {5}{7}}$

Penjumlahan bilangan bulat dengan pecahan untuk model 2 ini mirip dengan model 1.

Perhatikan contoh berikut

$-2-{\frac {5}{7}}$ = $-2{\frac {5}{7}}$

$-3-{\frac {3}{10}}$ = $-3{\frac {3}{10}}$

$-7-{\frac {2}{9}}$ = $-7{\frac {2}{9}}$

$-25-{\frac {5}{12}}$ = $-25{\frac {5}{12}}$

Dapatkah Anda menemukan polanya?

Mudah kan?

{{#ev:YouTube |id= 3C62l5SbC_M |width=640 |height=400 }}

Model 3 : $2-{\frac {5}{7}}$

Model 3 ini berbeda dengan model 1 dan 2.

• Langkah pertama adalah menghitung bentuk $1-{\frac {5}{7}}$

Cara mengerjakannya adalah mengubah 1 menjadi ${\frac {7}{7}}$

$1-{\frac {5}{7}}$ = ${\frac {7}{7}}-{\frac {5}{7}}$ = ${\frac {2}{7}}$

Lihat beberapa contoh berikut

$1-{\frac {3}{11}}$ = ${\frac {11}{11}}-{\frac {3}{11}}$ = ${\frac {8}{11}}$

$1-{\frac {4}{5}}$ = ${\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}$ = ${\frac {1}{5}}$

$1-{\frac {5}{8}}$ = ${\frac {8}{8}}-{\frac {5}{8}}$ = ${\frac {3}{8}}$

$1-{\frac {4}{27}}$ = ${\frac {27}{27}}-{\frac {4}{27}}$ = ${\frac {23}{27}}$

• Langkah kedua adalah memecah bilangan bulatnya menjadi 1 dan sisanya

$2-{\frac {5}{7}}$ = 1 + $(1-{\frac {5}{7}})$ = $1+{\frac {2}{7}}$ = $1{\frac {2}{7}}$

Perhatikan contoh berikutnya

$5-{\frac {5}{7}}$ = 4 + $(1-{\frac {5}{7}})$ = $4+{\frac {2}{7}}$ = $4{\frac {2}{7}}$

$7-{\frac {5}{7}}$ = 6 + $(1-{\frac {5}{7}})$ = $6+{\frac {2}{7}}$ = $6{\frac {2}{7}}$

$6-{\frac {5}{7}}$ = 5 + $(1-{\frac {5}{7}})$ = $5+{\frac {2}{7}}$ = $5{\frac {2}{7}}$

$23-{\frac {5}{7}}$ = 22 + $(1-{\frac {5}{7}})$ = $22+{\frac {2}{7}}$ = $22{\frac {2}{7}}$

$5-{\frac {2}{9}}$ = 4 + $(1-{\frac {2}{9}})$ = $4+{\frac {7}{9}}$ = $4{\frac {7}{9}}$

$7-{\frac {3}{11}}$ = 6 + $(1-{\frac {3}{11}})$ = $6+{\frac {8}{11}}$ = $6{\frac {8}{11}}$

$6-{\frac {4}{5}}$ = 5 + $(1-{\frac {4}{5}})$ = $5+{\frac {1}{5}}$ = $5{\frac {1}{5}}$

$23-{\frac {7}{12}}$ = 22 + $(1-{\frac {7}{12}})$ = $22+{\frac {5}{12}}$ = $22{\frac {5}{12}}$

Bisakah Anda melihat polanya?

{{#ev:YouTube |id= 77O3rzMluRQ |width=640 |height=400 }}

• Aktivitas 12

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai model 3 titik kritis

Mengerjakan Latihan 15-18 dari buku Pecahan (buku 4)

Model 4 : $-2+{\frac {5}{7}}$

Model 4 ini berbeda dengan model sebelumnya.

• Langkah pertama adalah menghitung bentuk $-1+{\frac {5}{7}}$

Cara mengerjakannya adalah mengubah -1 menjadi $-{\frac {7}{7}}$

$-1+{\frac {5}{7}}$ = $-{\frac {7}{7}}+{\frac {5}{7}}$ = $-{\frac {2}{7}}$

Lihat beberapa contoh berikut

$-1+{\frac {3}{11}}$ = $-{\frac {11}{11}}+{\frac {3}{11}}$ = $-{\frac {8}{11}}$

$-1+{\frac {4}{5}}$ = $-{\frac {5}{5}}+{\frac {4}{5}}$ = $-{\frac {1}{5}}$

$-1+{\frac {5}{8}}$ = $-{\frac {8}{8}}+{\frac {5}{8}}$ = $-{\frac {3}{8}}$

$-1+{\frac {4}{27}}$ = $-{\frac {27}{27}}+{\frac {4}{27}}$ = $-{\frac {23}{27}}$

• Langkah kedua adalah memecah bilangan bulatnya menjadi -1 dan sisanya

$-2+{\frac {5}{7}}$ = -1 + $(-1+{\frac {5}{7}})$ = $-1-{\frac {2}{7}}$ = $-1{\frac {2}{7}}$

Perhatikan contoh berikutnya

$-5+{\frac {5}{7}}$ = -4 $(-1+{\frac {5}{7}})$ = $-4-{\frac {2}{7}}$ = $-4{\frac {2}{7}}$

$-7+{\frac {5}{7}}$ = -6 $(-1+{\frac {5}{7}})$ = $-6-{\frac {2}{7}}$ = $-6{\frac {2}{7}}$

$-6+{\frac {5}{7}}$ = -5 $(-1+{\frac {5}{7}})$ = $-5-{\frac {2}{7}}$ = $-5{\frac {2}{7}}$

$-23+{\frac {5}{7}}$ = -22 $(-1+{\frac {5}{7}})$ = $-22-{\frac {2}{7}}$ = $-22{\frac {2}{7}}$

$-5+{\frac {2}{9}}$ = -4 $(-1+{\frac {2}{9}})$ = $-4-{\frac {7}{9}}$ = $-4{\frac {7}{9}}$

$-7+{\frac {3}{11}}$ = -6 $(-1+{\frac {3}{11}})$ = $-6-{\frac {8}{11}}$ = $-6{\frac {8}{11}}$

$-6+{\frac {4}{5}}$ = -5 $(-1+{\frac {4}{5}})$ = $-5-{\frac {1}{5}}$ = $-5{\frac {1}{5}}$

$-23+{\frac {7}{12}}$ = -22 $(-1+{\frac {7}{12}})$ = $-22-{\frac {5}{12}}$ = $-22{\frac {5}{12}}$

Bisakah Anda melihat polanya?

{{#ev:YouTube |id= yxicBxkmBlw |width=640 |height=400 }}

• Aktivitas 13

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai model 3 titik kritis

Mengerjakan Latihan 19-22g dari buku Pecahan (buku 4)

Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Majemuk

Pada bagian ini kita belajar bagaiman melakukan penjumlahan dan pengurangan pecahan majemuk.

Ada 4 macam jenis bentuk soal-soal penjumlahan dan pengurangan pecahan majemuk ini.

model 1 : $2{\frac {2}{5}}+3{\frac {3}{7}}$

Pada model ini Pecahan Majemuk positif ditambah Pecahan Majemuk positif.

Contoh : $2{\frac {5}{7}}+3{\frac {3}{8}}$

• Langkah pertama: jumlahkan bilangan bulatnya

2 + 3 = 5

• Langkah kedua : jumlahkan pecahannya

${\begin{array}{lcl}{\frac {5}{7}}+{\frac {3}{8}}&=&{\frac {5\times 8}{7\times 8}}+{\frac {3\times 7}{8\times 7}}\\&=&{\frac {40}{56}}+{\frac {21}{56}}\\&=&{\frac {61}{56}}\\&=&1{\frac {5}{56}}\end{array}}$

• Langkah ketiga : Jumlahkan bilangan bulat dan hasil pecahan

$5+1{\frac {5}{56}}$ = $6{\frac {5}{56}}$

Jadi

$2{\frac {5}{7}}+3{\frac {3}{8}}$ = $6{\frac {5}{56}}$

Dalam video ini terdapat beberapa contoh lain penjumlahan model 1 ini.

{{#ev:YouTube |id= bul1s5UjLsA |width=640 |height=400 }}

model 2 : $-2{\frac {2}{5}}-3{\frac {3}{7}}$

Pada model ini Pecahan Majemuk negatif ditambah Pecahan Majemuk negatif.

Contoh : $-2{\frac {5}{7}}-3{\frac {3}{8}}$

• Langkah pertama: jumlahkan bilangan bulatnya

-2 - 3 = -5

• Langkah kedua : jumlahkan pecahannya (ingat $-2{\frac {5}{7}}=-2-{\frac {5}{7}}$

${\begin{array}{lcl}-{\frac {5}{7}}-{\frac {3}{8}}&=&{\frac {-5\times 8}{7\times 8}}-{\frac {3\times 7}{8\times 7}}\\&=&-{\frac {40}{56}}-{\frac {21}{56}}\\&=&{\frac {-61}{56}}\\&=&-1{\frac {5}{56}}\end{array}}$

• Langkah ketiga : Jumlahkan bilangan bulat dan hasil pecahan

$-5-1{\frac {5}{56}}$ = $-6{\frac {5}{56}}$

Jadi

$-2{\frac {5}{7}}-3{\frac {3}{8}}$ = $-6{\frac {5}{56}}$

Dalam video ini terdapat beberapa contoh lain penjumlahan model 2 ini.

{{#ev:YouTube |id= 0Kw7CmMXKoI |width=640 |height=400 }}

model 3 : $2{\frac {2}{5}}-3{\frac {3}{7}}$

Pada model ini Pecahan Majemuk positif dikurangi Pecahan Majemuk positif.

Contoh : $2{\frac {5}{7}}-3{\frac {3}{8}}$

• Langkah pertama: kurangkan bilangan bulatnya

2 - 3 = -1

• Langkah kedua : kurangkan pecahannya

${\begin{array}{lcl}{\frac {5}{7}}-{\frac {3}{8}}&=&{\frac {5\times 8}{7\times 8}}-{\frac {7\times 3}{7\times 8}}\\&=&{\frac {40}{56}}-{\frac {21}{56}}\\&=&{\frac {19}{56}}\end{array}}$

• Langkah ketiga : Jumlahkan bilangan bulat dan hasil pecahan

$-1+{\frac {19}{56}}$ = $-{\frac {37}{56}}$

Jadi

$2{\frac {5}{7}}-3{\frac {3}{8}}$ = $-{\frac {37}{56}}$

Dalam video ini terdapat beberapa contoh lain penjumlahan model 3 ini. {{#ev:YouTube |id= bul1s5UjLsA |width=640 |height=400 }}

model 4 : $-2{\frac {2}{5}}+3{\frac {3}{7}}$

Pada model ini Pecahan Majemuk negatif ditambah Pecahan Majemuk positif.

Contoh : $-2{\frac {5}{7}}+3{\frac {3}{8}}$

• Langkah pertama: jumlahkan bilangan bulatnya

-2 + 3 = 1

• Langkah kedua : jumlahkan pecahannya (ingat $-2{\frac {5}{7}}=-2-{\frac {5}{7}}$

${\begin{array}{lcl}-{\frac {5}{7}}+{\frac {3}{8}}&=&{\frac {-5\times 8}{7\times 8}}+{\frac {7\times 3}{7\times 8}}\\&=&-{\frac {40}{56}}+{\frac {21}{56}}\\&=&{\frac {-19}{56}}\end{array}}$

• Langkah ketiga : Jumlahkan bilangan bulat dan hasil pecahan

$1{\frac {-19}{56}}$ = ${\frac {37}{56}}$

Jadi

$-2{\frac {5}{7}}+3{\frac {3}{8}}$ = ${\frac {37}{56}}$

Dalam video ini terdapat beberapa contoh lain penjumlahan model 4 ini.

{{#ev:YouTube |id= 0Kw7CmMXKoI |width=640 |height=400 }}

• Aktivitas 13

Tujuan: siswa mengerjakan secara cepat soal-soal mengenai penjumlahan bilangan pecahan majemuk.

Mengerjakan Latihan 23 dari buku Pecahan (buku 4)