G COUNTING 5 : Whole Number
Gasing Counting Introduction
Matematika selama ini telah menjadi mata pelajaran yang ditakuti banyak siswa. Siswa kesulitan ketika mengerjakan soal-soal matematika karena lemahnya kemampuan konsep matematika mereka. Untuk itu diperlukan suatu cara agar siswa tertarik dengan matematika dan dapat belajar matematika dengan mudah.
Oleh karena itu Prof.Yohanes Surya, Ph.D di Surya Institute mengembangkan metode pembelajaran matematika yang dinamakan metode Gasing (GAmpang, aSyIk, MenyenaNGkan). Pembelajaran Matematika Gasing dibuat secara bertahap, bertingkat dan berlanjut, dari konsep yang termudah hingga tersulit. Dengan cara ini siswa lebih mudah memahami matematika dan menemukan sendiri “AHA”-nya. Lewat metode Gasing ini diharapkan jutaan anak-anak Indonesia menjadi pandai berhitung dan tidak lagi takut dengan matematika.
Modul pertama ini disusun untuk memberi bimbingan pada orangtua atau pendidik bagaimana mengajar berhitung GASING yang meliputi BAKAL KUBAGI (penjumlahan atau penamBAhan, perKALian, pengurangan atau KUrang dan pemBAGIan). Pada Modul kedua nanti kita akan belajar GASING untuk materi PEDE (PEcahan dan DEsimal). Seorang yang mampu menguasai BAKAL KUBAGI PEDE akan mampu belajar matematika dengan sangat mudah.
Ucapan terima kasih tak lupa kami sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu terselesaikannya modul ini. Akhirnya, saran dan masukan berkaitan dengan modul ini dapat disampaikan kepada penyusun melalui situs Kandel.
Tim Penyusun
Meaning GASING
Arti Metode GASING
Metode adalah cara (langkah demi langkah) untuk mencapai suatu hasil. GASING adalah GAmpang, aSIk, dan menyenaNGkan. Jadi Metode GASING berhitung adalah langkah demi langkah pembelajaran berhitung secara gampang, asik dan menyenangkan.
Pembelajaran Berhitung Gasing dibuat berurutan dari konsep yang termudah hingga tersulit sehingga siswa dapat dengan mudah memahami matematika dan menemukan sendiri “AHA”-nya.
Beberapa hal penting dalam metode Gasing
- Konkret - Abstrak
- Setiap materi pembelajaran Gasing selalu dimulai dengan sesuatu yang kongkret, sesuatu yang mudah divisualisasikan. Hal yang konkret ini membuat siswa lebih mudah mengerti. Tanpa bisa membayangkan lebih sulit bagi siswa untuk belajar suatu mata pelajaran.
- Misalnya seorang berkata cinq + vier = enea. Sulit bagi kita mengingat atau mengerti maksudnya. Tetapi kalau ia menunjukan jari 5 sambil berkata cinq (bahasa perancis), lalu menunjukan jari 4 sambil berkata vier (bahasa Jerman) dan menunjukan hasilnya adalah sembilan jari sambil berkata enea (bahasa yunani), maka siswa bisa mengerti lebih mudah.
- Setelah belajar kongkretnya, kita mengajarkan abstraknya, misalnya 5 + 4 = 9.
- Mencongak
- Perhitungan dengan metode Gasing sebagian besar dilakukan dengan mencongak. Mencongak bukan berarti menghafal, tetapi mengerti sehingga mampu melakukan perhitungan secara mencogak.
- Misalnya 19 x 3 sama dengan 1 puluhan x 3 satuan hasilnya adalah 3 puluhan, kemudian 9 satuan dikali 3 satuan hasilnya adalah 27 satuan yang merupakan 2 puluhan dan 7 satuan. Puluhannya digabung menjadi 3 + 2 = 5. Satuannya tetap 7. Sehingga hasilnya adalah 57.
- Agar lebih mudah menghitung secara mencongak maka perhitungan BAKAL KUBAGI selalu dimulai dari kiri ke kanan bukan dari kanan ke kiri seperti yang selama ini kita ajarkan.
- Bertahap
- Belajar Gasing adalah belajar setahap demi setahap. Misalnya untuk menguasai penjumlahan 5 digit dengan 5 digit tahapan yang perlu dilakukan adalah
- menguasai arti bilangan 1-5
- menguasai penjumlahan yang hasilnya 2 sampai 5
- menguasai arti bilangan 6 - 10
- menguasai penjumlahan yang hasilnya 6 sampai 10
- dst
- Bertingkat
- Disamping bertahap, pembelajaran Gasing dibuat bertingkat. Tingkat pertama adalah Penjumlahan. Setelah menguasai penjumlahan, siswa baru bisa masuk ke perkalian. Kita tidak bisa mengajarkan perkalian tanpa lewat penjumlahan. Demikian juga pengurangan dapat dipelajari kalau sudah menguasai penjumlahan. Pembagian hanya dapat dikuasai setelah menguasai penjumlahan, perkalian dan pengurangan. Tingkatan-tingkatan yang akan kita pelajari dalam berhitung ini adalah
- Penjumlahan
- Perkalian
- Pengurangan
- Pembagian
- Bilangan bulat
- Pecahan
- Desimal
- Berlanjut
- Setelah menguasai Gasing berhitung, kita bisa lanjut ke soal cerita, soal teka-teki berhitung atau berbagai aplikasi seperti menghitung luas, kecepatan, perbandingan dsb.
- Titik Kritis
Dalam setiap tingkatan ada titik kritisnya. Titik kritis adalah keadaan dimana siswa sudah memahami dengan baik konsep-konsep dasar dari suatu tingkatan. Siswa yang telah mencapai titik kritis akan mampu menguasai konsep lanjutan dari tingkatan itu secara mudah.
Sebagai contoh : ‘’’titik kritis penjumlahan’’’ adalah penjumlahan yang hasilnya dibawah 20. Jadi untuk semua siswa yang sudah mampu menjumlahkan bilangan yang hasilnya kurang dari 20 sudah siap untuk melanjutkan pada konsep lanjutan penjumlahan seperti penjumlahan 2 digit, penjumlahan 3 digit dsb.
- Banyak Latihan
Siswa diberikan soal Latihan setelah siswa mampu mencongak. Jadi Latihan yang banyak adalah untuk meningkatkan kemampuan motorik siswa, bagaimana menuliskan apa yang ada diotak dalam bentuk tulisan tangan. Soal Latihan yang banyak juga untuk melatih ‘’’endurance’’’ anak. Mereka harus mengerjakan soal secara cepat misalnya 120 soal dalam waktu 3 menit, ini bermanfaat untuk melatih ‘’’konsentrasi’’’ mereka dan membiasakan bekerja secara cepat dan meningkatkan kerja otak. Latihan yang banyak dengan waktu yang cepat dapat meningkatkan kecerdasan (IQ) juga dan membuat siswa semakin mahir berhitung.
Perhatikan disini langkah demi langkah Gasing:
Kongkret → mencongak → berlatih dengan tulisan.
- Banyak memuji
Selama proses belajar pengajar harus banyak memuji anak untuk progress sekecil apapun juga. Pujian ini akan mendorong anak untuk belajar dan belajar lebih banyak. Pujian ini akan meningkatkan percaya diri siswa sehingga otak siswa akan bekerja lebih baik. Pujian akan membuat anak merasa dihargai dan ini membuat anak lebih mencintai matematika (ia merasa bahwa di ‘matematika’ lah ia dipuji dan dihargai).
Pujian bisa dilakukan secara dengan kata-kata seperti “kamu hebat sekali ya…”, “kamu makin lama makin hebat ya…” , “kamu ini luar biasa sekali”, “kamu akan jadi professor matematika yang sangat hebat…” dsb. Atau pujian ini juga bisa diberikan secara tertulis pada hasil kerja mereka. Seperti begitu mereka selesai menjawab 120 soal dalam 3 menit, kita tulis “wah luar biasa sekali Emon, kamu hebat sekali…” dsb..
- Mengajar dengan hati
Mengajar yang berhasil adalah ketika kita bisa menyamakan frekuensi irama berpikir otak kita dengan irama berpikir anak, kemudian sedikit demi sedikit kita bawa anak itu berfikir dengan frekuensi kita. Teknik ini sangat powerful. Untuk melakukan Teknik ini kita perlu mengajar dengan hati. Kita harus anggap siswa kita adalah makhluk Tuhan yang perlu kita latih sehingga pandai. Kita harus mengajar dengan hati yang tulus dan semangat ingin agar anak ini bisa pandai.
- Mengajar dengan musik/lagu
Indonesia adalah negara yang mencintai musik. Hampir tiap daerah punya lagu-lagu daerahnya masing-masing. Ketika kita mengajar matematika dengan lagu, siswa akan lebih senang dan lebih menangkap apa yang kita ajarkan. Lagu yang dikombinasikan dengan Gerakan dan matematika akan melatih otak kanan dan otak kiri secara bersama-sama dan ini akan menghasilkan efek yang luar biasa pada sang anak. Anak lebih cekatan, lebih cerdas dan lebih kreatif.
- Kecerdasan 6C
Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa GASING itu mengembangkan kecerdasan 6C: Communication, Collaboration, Creativity, Compassion, Critical Thinking, Computational Logic
Whole Number
Titik Kritis Gasing dalam bilangan bulat ini adalah siswa mengerti konsep ambil/taruh gunung/lembah. Untuk mencapai titik kritis tersebut, Metode Gasing mengajarkan langkah demi langkah sebagai berikut:
Rahasia agar anak dapat menguasai operasi bilangan bulat adalah bakalkubagi-nya harus kuat.
6.1. Garis Bilangan Bulat
Perhatikan garis bilangan berikut ini!
Garis bilangan adalah suatu garis yang diberi tanda dengan jarak sama antara satu titik dengan titik berikutnya.
Coba isilah titik-titik pada garis bilangan di bawah ini dengan bilangan bulat yang tepat.
Perhatikan garis bilangan berikut:
Dari 3 ke 2 kurang satu, dari 2 ke 1 kurang 1, dari 1 ke 0, kurang satu. Berarti ke kiri satu langkah artinya kurang satu, ke kiri artinya kurang.
Jadi dari 0 ke kiri 1 langkah disebut ‘nol kurang 1’, selanjutnya ‘0 kurang 2’, ‘0 kurang 3’, dan seterusnya.
Tapi penulisan 0 terlalu panjang sehingga ‘0 kurang 1’ ini sepakat ditulis -1 (garis 1)
‘0 kurang 2’ ditulis -2 (garis 2), ‘0 kurang 3’ ditulis -3 (garis 3), dan seterusnya. “Garis” itu biasa juga disebut “negatif” atau “minus” disingkat “min”.
Dapat juga dibuat garis bilangan yang skalanya bukan 1. Contoh:
Dimulai dari bilangan paling kanan ke kiri pada garis bilangan, yaitu 6. Bilangan berikutnya adalah 6 dikurang 2 menjadi 4. Lalu 4 kurang 2 menjadi 0, dari 0 kurang 2 menjadi ‘0 kurang 2’ atau seperti sebelumnya kita tulis -2, dan seterusnya.
Kegunaan Bilangan Bulat Negatif
Misal kita sebut ketinggian di permukaan laut 0 meter, maka letak rumah, pohon dan benda-benda di atas permukaan laut dapat dinyatakan dengan suatu ketinggian 1 m, 2 m, dst. Bagaimana dengan yang di bawah permukaan laut?
Kita dapat mengatakan misalnya “kerang berada pada kedalaman 7 m di bawah permukaan air laut”. Akan tetapi ini terlalu panjang, dengan simbol bilangan negatif kita dapat mengatakan bahwa letak kerang adalah -7 m. Jadi, kita menggunakan bilangan negatif untuk yang di bawah permukaan air laut.
Ketinggian tepat pada permukaan tanah dianggap 0 m, di atas permukaan tanah menggunakan bilangan positif, dan di bawah permukaan tanah menggunakan bilangan negatif.
Pada Termometer, 0 oC adalah suhu air membeku. Jika lebih panas dari suhu air membeku dianggap positif dan jika lebih dingin dari suhu air membeku dianggap negatif.
Number line
6.2. Operasi Bilangan Bulat pada Garis Bilangan Dalam operasi bilangan bulat pada garis bilangan terdapat beberapa pengertian yang harus dipahami terlebih dahulu, yaitu: bilangan positif adalah anak panah dengan arah ke kanan bilangan negatif adalah anak panah dengan arah ke kiri operasi selalu diawali dari bilangan nol (0) operasi pengurangan, membalik arah anak panah yang berikutnya
Contoh:
1. 2+3=....
Kita buat dari 0 anak panah 2 satuan ke kanan, tambah 3 berarti dari ujung panah kita buat anak panah ke kanan sebesar 3 satuan (diperpanjang). Jadi ujung panah akhir ada pada bilangan 5. Jadi, 2 + 3 = 5.
2. (-2) + (-3) = ....
Dibuat anak panah dari 0 menuju 2 satuan ke kiri, lalu ditambah -3 artinya dari ujung panah sebelumnya yaitu -2 dibuat anak panah 3 satuan ke kiri, hasilnya ujung panah terakhir ada pada bilangan -5. Jadi, (-2) + (-3) = -5.
3. 2+(-3)=....
Dibuat anak panah dari 0 menuju 2 satuan ke kanan, ditambah -3 artinya dari ujung panah sebelumnya yaitu 2 dibuat anak panah yang arahnya ke kiri (karena negatif) sebesar 3 satuan. Hasilnya ujung panah terakhir ada pada bilangan -1. Jadi, 2 + (-3) = -1
4. -2+3=....
Dibuat anak panah dari 0 menuju 2 satuan ke kiri, kemudian dari ujung panah (-2) dibuat anak panah 3 satuan ke kanan. Hasilnya ujung anak panah terakhir ada pada bilangan 1. Jadi, (-2) + 3 = 1
5. 3-2=....
Dibuat anak panah dari 0 menuju 3 satuan ke kanan, dikurangi 2 artinya dari ujung panah kita buat anak panah ke kiri (anak panah yang tadinya ke kanan karena 2 itu positif dibalik karena operasi kurang) sebesar 2 satuan (dipotong). Hasilnya ujung panah akhir berada pada bilangan 1. Jadi, 3 – 2 = 1.
6. (-3) – (-2) = ....
Kita buat anak panah dari 0 menuju 3 satuan ke kiri, kemudian dari ujung panah kita buat anak panah 2 satuan ke kanan (anak panah yang tadinya ke kiri karena -2 itu negatif dibalik karena operasi kurang). Hasilnya ujung panah berada pada bilangan -1. Jadi, (-3) – (-2) = -1
7. 2–3=....
Kita buat anak panah dari 0 menuju 2 satuan ke kanan, kemudian dari ujung panah dibuat anak panah 3 satuan ke kiri (anak panah yang tadinya ke kanan karena 3 itu positif dibalik karena operasi kurang). Hasilnya ujung panah terakhir berada pada bilangan -1. Jadi, 2 – 3 = -1.
8. (-2) – (-3) = ....
Kita buat anak panah dari 0 menuju 2 satuan ke kiri, kemudian dari ujung panah dibuat anak panah 3 satuan ke kanan (anak panah yang tadinya ke kiri karena -3 itu negatif dibalik karena operasi kurang). Hasilnya ujung panah terakhir berada pada bilangan 1.
Jadi, (-2) – (-3) = 1.
9. 2–(-3)=....
Kita buat anak panah dari 0 menuju 2 satuan ke kanan, kemudian dari ujung panah buat anak panah 3 satuan ke kanan (anak panah yang tadinya ke kiri karena -3 itu negatif dibalik karena operasi kurang). Hasilnya ujung panah akhir berada pada bilangan 5. Jadi, 2 – (-3) = 5.
10. (-2) -3 = ....
Kita buat anak panah dari 0 menuju 2 satuan ke kiri, kemudian dari ujung panah buat anak panah 3 satuan ke kiri (anak panah yang tadinya ke kanan karena 3 itu positif dibalik karena operasi kurang). Hasilnya ujung panah akhir berada pada bilangan -5. Jadi, (-2) – 3 = -5.
valley and hill concept
6.3. Konsep Gunung dan Lembah Konkret dari bilangan positif dan negatif juga dapat ditunjukkan dengan alat peraga gunung dan lembah, yaitu:
1 lembah menyatakan -1 (negatif 1)
Satu gunung menutupi satu lembah menjadi tanah datar/rata yang menyatakan 0
Contoh:
Tiga gunung pasir menyatakan 3
Tiga lembah pasir menyatakan -3
Addition and substraction whole number
6.4. Operasi Bilangan Bulat dengan Konsep Ambil/Taruh Gunung/Lembah Ada berbagai macam operasi bilangan bulat dan di sini cara menyelesaikannya akan diilustrasikan dengan menggunakan alat peraga gunung dan lembah.
1. Operasi Penjumlahan Sejenis
Contoh:
a. 2+3=.... Kita dapat menyelesaikan operasi ini dengan gambar lembah dan gunung:
2 gunung ditambah 3 gunung ada sebanyak 5 gunung. Sehingga 2 + 3 = 5.
b. (-2) + (-3) = ....
2 lembah ditambah 3 lembah ada 5 lembah. Sehingga (-2) + (-3) = -5.
2. Operasi Penjumlahan Berlainan Jenis Contoh:
a) 2+(-3)=....
2 gunung ditambah 3 lembah hasilnya adalah 1 lembah.
Sehingga 2 + (-3) = -1
b) (-2)+3=....
2 lembah ditambah 3 gunung hasilnya adalah 1 gunung
Sehingga (-2) + 3 = 1.
3. Operasi Pengurangan Sejenis dan Cukup
Contoh:
a) 3–2=....
3 gunung diambil 2 gunung hasilnya adalah 1 gunung.
Sehingga 3 – 2 = 1.
b) (-3) – (-2) = ....
3 lembah diambil 2 lembah hasilnya adalah 1 lembah.
Sehingga (-3) – (-2) = -1.
4. Operasi Pengurangan Sejenis dan Tidak Cukup
Contoh:
a) 2–3=....
2 gunung diambil 3 gunung.
Karena tidak cukup maka harus membuat galian gunung sehingga muncullah lembah. 3 gunung diambil yang tersisa adalah 1 lembah. Sehingga 2 – 3 = - 1.
b) (-2) – (-3) = ....
2 lembah diambil 3 lembah.
Karena hanya ada 2 lembah maka perlu membuat galian untuk mendapat 1 lembah dan 1 gunung.
Ketika 3 lembah diambil yang tersisa adalah 1 gunung, sehingga (-2) – (-3) = 1.
5. Operasi Pengurangan Berlainan Jenis Contoh:
a) 2–(-3)=....
Ada 2 gunung ingin diambil 3 lembah.
Karena hanya ada gunung sebanyak 2 maka untuk mendapatkan lembah harus membuat galian sebanyak 3 lembah.
Akibatnya muncullah tiga gunung. Ketika 3 lembah diambil maka yang tersisa adalah 5 gunung. Sehingga 2 – (-3) = 5.
b) (-2)–3=....
Ada 2 lembah ingin diambil 3 gunung.
Karena hanya ada lembah sebanyak 2 maka untuk mendapatkan gunung harus membuat galian sebanyak 3 lembah.
Akibatnya muncullah tiga gunung. Ketika 3 gunung diambil maka yang tersisa adalah 5 lembah. Sehingga (-2) – 3 = - 5.
Cara cepat
Lingkari angka 3 dan juga angka +5. Tentukan tanda dari setiap yang dilingkari, kalau tidak ada tanda berarti positif. Sehingga ada positif 3 (3 gunung) dan positif 5 (5 gunung). Jadi, totalnya ada berapa gunung? Ada 8 gunung.
Lingkari angka 3 dan juga angka -5. Jadi, ada positif 3 (3 gunung) dan negatif 5 (5 lembah). Nah, kalau gunung dan lembah saling meniadakan (ingat kesepakatan gunung dan lembah di awal), mana yang menang atau lebih banyak, Gunung atau lembah? Jawabannya adalah lembah. Lebih banyak berapa? Jawab: 2. Berarti hasilnya 2 lembah sama dengan -2.
Lingkari angka -3 dan juga angka +5. Jadi, ada negatif 3 (3 lembah) dan positif 5 (5 gunung). Mana yang lebih banyak? Gunung atau lembah? Jawab: gunung. Lebih banyak berapa? Jawab: 2. Berarti hasilnya 2 gunung sama dengan 2.
Lingkari angka -3 dan juga angka -5. Jadi, ada negatif 3 (3 lembah) dan negatif 5 (5 lembah). Totalnya ada berapa lembah? Ada 8 lembah.
Lingkari angka 123 dan juga angka + 110. Jadi, ada positif 123 (123 gunung) dan positif 110 (110 gunung). Totalnya ada berapa gunung? Ada 233 gunung.
Lingkari angka 123 dan juga angka -185. Jadi, ada positif 123 (123 gunung) dan negatif 185 (185 lembah). Mana yang lebih banyak, gunung atau lembah? Jawabannya adalah lembah. Berapa selisihnya? Jawab: 62, dari 185 - 123. Berarti hasilnya 62 lembah sama dengan -62.
Lingkari angka -135 dan juga angka +197. Jadi, ada negatif 135 (135 lembah) dan positif 197 (197 gunung). Mana yang lebih banyak? Gunung atau lembah? Jawabannya adalah gunung. Berapa selisihnya? Jawab: 62, dari 197 - 135. Berarti hasilnya 62 gunung sama dengan 62.
Lingkari angka -94 dan juga angka -15. Jadi, ada negatif 94 (94 lembah) dan negatif 15 (15 lembah). Totalnya ada berapa lembah? Ada 109 lembah.
Multiplication whole number
6. Operasi Perkalian
Seperti pada penjumlahan, perkalian bilangan bulat dapat diperagakan dengan gunung dan lembah. Ada 4 jenis perkalian, yaitu:
a) 3x2=....
Berdasarkan konsep perkalian dapat dikatakan ada 3 kotak berisi 2 gunung.
Hasilnya ada sebanyak 6 gunung. Jadi 3 x 2 =6
b) 3x(-2)=.... Berdasarkan konsep perkalian dapat dikatakan ada 3 kotak berisi 2 lembah.
Hasilnya ada sebanyak 6 lembah. Jadi 3 x (-2) = -6
Itu yang dulu dipelajari waktu perkalian. Muncul pertanyaan, dari mana asal gunung tersebut? Harus ada yang menaruh. Dapat diartikan 3 x 2 sama dengan 3 kali menaruh 2 gunung: 2 gunung, 2 gunung, 2 gunung. Jadi, terdapat 6 gunung, sehingga 3 x 2 = 6. Untuk 3 x (-2) dapat diartikan 3 kali menaruh 2 lembah, jadi terdapat 6 lembah, sehingga dapat disimpulkan 3 x (-2) = -6. Untuk perkalian bilangan bulat, kalau bilangan di belakang simbol kali adalah positif artinya gunung dan kalau negatif artinya lembah. Sekarang kalau bilangan di depan simbol kali adalah positif artinya menaruh, kalau negatif artinya mengambil. Ini akan kita lihat pada jenis perkalian berikutnya.
c) (-3)×2=....
Kita dapat menjelaskan perkalian tersebut dengan 3 cara, yaitu: Konkret gunung dan lembah
Pola
Komutatif
Cara Konkret gunung dan lembah
Yang pertama dengan menggunakan alat peraga gunung dan lembah. Kita mulai dengan 3 x 2. Seperti disampaikan di atas, ini berarti kita MENARUH 2 gunung sebanyak 3 kali. Hasilnya 6 gunung, jadi 3 x 2 = 6. Lalu 2 x 2 artinya kita menaruh 2 gunung sebanyak 2 kali. Hasilnya 4 gunung, jadi 2 x 2 = 4. Lalu 1 x 2 artinya kita menaruh 2 gunung sekali. Hasilnya 2 gunung, jadi 1 x 2 = 2. Kemudian 0 x 2, artinya kita tidak melakukan apa-apa jadi nilainya 0. Sekarang – 1 x 2 artinya kita MENGAMBIL 2 gunung sekali, jadi seperti konkret untuk 0 – 2, terlihat hasilnya 2 lembah, jadi -1 x 2 = -2. Untuk -2 x 2 artinya kita mengambil 2 gunung sebanyak 2 kali, jadi tersisa 4 lembah, jadi -2 x 2 = -4. Untuk -3 x 2 artinya kita mengambil 2 gunung sebanyak 3 kali, jadi tersisa 6 lembah, jadi -3 x 2 = -6.
Cara Pola
[[[Image:Screen Shot 2022-02-11 at 15.26.41.png|200px]]
Mulai dari 3 x 2 = 6. Perhatikan hasil perkalian pada baris berikutnya berkurang 2. Sehingga kita peroleh hasil dari (-3) × 2 sama dengan -6.
Cara Komutatif
Selain menggunakan pola dari perkalian, kita juga dapat mendapatkan hasil perkalian tersebut dengan menggunakan sifat komutatif dari operasi perkalian. Jadi, sebagai contoh kita dapat memperoleh hasil (-3) × 2 dari 2 × (-3) = -6.
d) (-3) × (-2) = ....
Cara Konkret Gunung dan Lembah Dengan menggunakan konkret gunung dan lembah, -3 x -2 artinya mengambil 2 lembah sebanyak 3 kali, sehingga tersisa 6 gunung. Jadi, -3 x -2 = 6.
Cara Pola
Dengan menggunakan pola perkalian kita juga dapat memperoleh hasil dari perkalian tersebut:
Sehingga kita peroleh hasil dari (-3) × (-2) sama dengan 6.
Dengan demikian dapat disimpulkan, bahwa:
Ini tidak perlu dihafal, siswa dapat membayangkan konkret gunung dan lembahnya.
Division whole number
7. Operasi Pembagian Operasi pembagian pada bilangan bulat dapat dikaitkan dengan operasi perkalian bilangan bulat.
Contoh:
a) 6÷3=...dapatdiarahkandengan...×3=6 2 x 3 = 6 (dua kali taruh 3 gunung hasilnya 6 gunung) 2 = 6 ÷ 3 (kedua sisi dibagi 3) Jadi, 6 ÷ 3 arti konkretnya berapa kali taruh/ambil 3 gunung untuk mendapatkan 6 gunung.
Jawabannya adalah 2 kali taruh, jadi 6 ÷ 3 = +2 = 2.
b) (-6) ÷ (-3) = ... dapat diarahkan dengan ... × (-3) = (-6) 2 x -3 = -6 (dua kali taruh 3 lembah hasilnya 6 lembah) 2 = -6 ÷ -3 (kedua sisi dibagi -3) Jadi, -6 ÷ -3 arti konkretnya berapa kali taruh/ambil 3 lembah untuk mendapatkan 6 lembah.
Jawabannya adalah 2 kali taruh, jadi (-6) ÷ (-3) = +2 = 2.
c) (-6)÷3=...dapatdiarahkandengan...×3=(-6) -2 x 3 = -6 (dua kali ambil 3 gunung hasilnya 6 lembah) -2 = -6 ÷ 3 (kedua sisi dibagi 3) Jadi, -6 ÷ 3 arti konkretnya berapa kali taruh/ambil 3 gunung untuk mendapatkan 6 lembah.
Jawabannya adalah 2 kali ambil, jadi (-6) ÷ 3 = -2.
d) 6÷(-3)=...dapatdiarahkandengan...×(-3)=6 -2 x -3 = 6 (dua kali ambil 3 lembah hasilnya 6 gunung) -2 = 6 ÷ -3 (kedua sisi dibagi -3) Jadi, 6 ÷ -3 arti konkretnya berapa kali taruh/ambil 3 lembah untuk mendapatkan 6 gunung.
Jawabannya adalah 2 kali ambil, jadi 6 ÷ (-3) = -2.
Ingat taruh tandanya positif dan ambil tandanya negatif. Juga, Menaruh gunung, hasilnya gunung. Menaruh lembah hasilnya lembah. Mengambil gunung, menghasilkan lembah. Mengambil lembah, hasilnya adalah gunung.
Kesimpulan:
