范畴论下量子力学的范式转换

量子力学发展中体现的范式转换和范畴论观点

早期量子论

两朵乌云

在量子力学建立二十余年之前，随着赫兹证明了电磁波的存在与玻尔兹曼建立统计物理学，整个物理学形成了一套自洽的体系。以经典力学，经典电磁理论与经典热力学，统计物理学三大学科作为支柱的物理学，已经能够解释现实世界中几乎一切现象。在这样的背景下，1900年，开尔文勋爵做了一篇著名的关于未来物理学展望的报告：《在热和光动力理论上空的19世纪乌云》 。在这篇报告中，开尔文勋爵提到了当时物理学界运用已有的知识无法解决的两大问题，并将其称为两朵乌云。这两朵乌云一是迈克尔逊-莫雷实验所测得的地球相对以太速度为零，二是黑体辐射理论与实验的不一致。这两个问题直接引发了二十世纪物理理论的革命。第一个问题导致了狭义相对论的诞生，而第二个问题导致了量子力学的建立。

普朗克与黑体辐射

在物理学中，黑体这一概念被用来描述这样一种理想化的物体——能够吸收外来的全部电磁辐射，而不会有任何的反射与透射。在吸收了电磁辐射之后，黑体会以热辐射的形式将能量辐射出去，这种热辐射就被称为黑体辐射。在开尔文爵士发表报告之前，有两组科学家从两个不同的方向尝试对黑体辐射中，辐射能量与热辐射波长的关系进行了理论上的推导，但均与实验数据产生了系统性的偏差。1896年，维恩从经典热力学出发，假设气体分子辐射的频率只与其速度有关，得到了热辐射的维恩公式 。维恩公式所得到的辐射值在短波区与实验值的吻合度相当高，但是在长波区相交实验值偏低。1900年，为了修正长波段中维恩公式的系统偏离，瑞利从能量按自由度均分这一原理出发进行推导。1905年，金斯计算得到瑞利提出公式中的常数，最终得到了瑞利-金斯公式。这个公式在长波区与实验值相当吻合，但是在短波区存在着近乎荒谬的偏离，随着波长变短（紫外光区），辐射能量会趋于无穷。在发现这一问题后，金斯曾作过各种努力，企图解决这个问题。然而他发现，只要坚持经典的统计理论（能均分定律），瑞利公式中短波波段能量趋于无穷的荒谬结论就是不可避免的。经典物理的这一错误预言如此严重，历史上被人们称为“紫外灾难”。

基于已经完善的经典物理学所得到的结果无法解释物理现象，这是前所未有的。为了解决这个问题，显然需要提出新的理论。1901年，普朗克在其发表的论文中对维恩公式提出了修正。为了解决长波下维恩公式的偏离，普朗克将维恩推导过程中的一个积分步骤改为了累加。令人惊喜的是，更改后的公式与实验数据完全吻合。为了让这种数学上的处理方法有其物理解释，普朗克发现必须引入一个新的物理假设，能量在发射与吸收的过程中存在一个最小单位，所有能量必须以这个最小单位的整数倍进行转移。能量的这种性质就被称为量子化。

在此之前，所有物理学家都认为，空间与时间（包括能量）应该是连续的。也就是说，在时间从第三秒走到第四秒间，必然会经过数轴上，三到四间的每一个数。然而为了解释黑体辐射问题，普朗克引入的假设表明，能量只有有限个状态而非无限连续。虽然从连续性到分立性的转化在数学上只是一个很小的转化，但这个假设却让物理学的根基产生了动摇。

微粒还是波的争论：光电效应

在普朗克提出他的假设之后不久，在另一个领域也发现了能量量子化的证据。关于光的本质是微粒还是波这一问题，历史上曾有许多科学家进行过激烈地辩论。在19世纪，杨氏双缝实验的结果与麦克斯韦方程组的建立表明了光是一种电磁波。然而几乎在麦克斯韦方程组建立的同时，光电效应也同时被发现了。1887年，赫兹在进行电磁波的相关实验时发现，当紫外线照射到金属电极上会产生电火花。进一步的实验表明，当光照射到金属上的时候，会激发金属表面的电子。这种关于光与电相互作用的现象就被称为“光电效应”。在光电效应的实验现象中，存在着与光的波动说相逆的证据。光的波动说认为，增加光的强度（即提高光束的能量）能够激发出更高能量的电子。但实验表明，增加光的强度只能激发出更多数量的电子。只有提高照射光线的频率，才能激发出更高能量的电子。

受到普朗克能量量子化思想的启发，爱因斯坦在1905年发表了《关于光的产生和转化的一个启发性观点》 以阐释光电效应的现象。在这篇论文中，爱因斯坦提出了光的量子化。“……从点光源发出的光线的能量不会在空间中连续分布，而是由位于空间中的有限数量的能量量子(energy quanta)组成，这些能量量子不能被分割，只能作为完整的单元产生或被吸收。”爱因斯坦在这篇论文中将量子化的光称为“光量子”(light quanta)，这一概念在之后被称为“光子”(photon)。从光子的角度出发，就可以轻松地解释光电效应的现象。由普朗克的理论可以推得，单个光子的能量仅与光的频率 有关：E=h\cdot\nu。式中h为普朗克常数。频率更高的光线中，单个光子要比频率低的光线含有更高的能量，因此当光子入射至金属表面时就能够激发出拥有更多动能的电子来。而强光包含了更多数量的光子，所以能够激发出更多数量的电子来。

基于光电效应，爱因斯坦提出的光量子论从更广的范围内验证了能量量子化的正确性，也为后续量子力学的研究铺平了一条道路。

玻尔的原子模型

在讨论玻尔的原子模型前，我们首先要介绍在玻尔之前，科学家对物质微观结构的认识。1808年，道尔顿基于大量的化学实验总结出了他的原子理论，认为原子是最小的不可分割的实体，是所有化学元素的最基本组成单位。道尔顿的理论被认为是近代原子论的开端。1897年，J.J.汤姆孙在在研究阴极射线（也就是电子流）时，发现了首个亚原子单位——电子。由于当时缺乏其他的观测手段，虽然汤姆孙发现了电子内部的结构，但他只能通过猜测来想象内部结构的样式。汤姆孙基于猜测提出了历史上第一个原子结构，他认为电子像布丁中的葡萄干一样镶嵌在原子中。这一模型被后世称为“葡萄干布丁模型”。

1910年，卢瑟福（同时也是J.J.汤姆孙的学生）为了探究“布丁”的大小，用一束α射线轰击一张金箔，却发现了用布丁模型难以解释的现象，有少量α粒子产生了大角度的偏转 。基于这个实验现象，卢瑟福修正了汤姆孙的原子理论。在卢瑟福的新理论中，在原子的中央位置存在致密、带正电的原子核。带负电的电子围绕原子核，以特定的轨道运动。正是因为α粒子与原子核产生了碰撞，才会发生大角度散射 。这个模型又被称为“行星系统模型”。

行星系统模型虽然很好的解释了α粒子的散射，但是却存在一个致命的缺陷。基于经典电磁学，做圆周运动的电荷会向外辐射的能量。由于电子轨道半径小，运动速度快，所以电子辐射能量的速率极高。按经典理论计算，在相当短的时间内电子就应该失去能量从而坠入原子核中。

所幸，当时已有的另一项物理成就给玻尔提供了解决问题的灵感。早在中世纪，人们就发现任何元素在被加热时都会释放出含有特定波长的光线。但是元素发出光线的波长却一直没有一个恰当的理论进行描述。1885年，巴耳末通过大量的实验数据发现，对氢元素发出的一组光线，波长可以用这样的公式来描述：\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}) ，其中n可以取3,4,5……。1888年，里德伯将这个公式进行了拓展，将氢可能发出的所有光线的波长都用一个公式进行概括：\ \frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2})，其中n，m均为正整数。这一具有明显量子化特征的公式启发了玻尔，让他进行了大胆的假设。1913年，玻尔连发三篇论文，阐述了他的新模型与量子化的新证据。 玻尔的模型假设在原子核外，电子有固定的轨道，且每个轨道的电子角动量均为约化普朗克常数的整数倍，而元素所发出的光的能量，正来源于电子从高能量轨道回落至低能量轨道时所释放的能量。根据这样的假设，计算出的光的波长完美符合里德伯公式。

更大的问题：经典还是量子

作为卢瑟福行星模型的延续，玻尔模型引入了量子化条件，从而使整个体系具有鲜明的量子化特点。但是玻尔模型作为一个唯象理论，仍然无法解释为什么处在确定轨道上的电子就可以不向外辐射能量。在1925年，泡利提出了著名的泡利不相容原理后，电子在核外运动的图像就显得更加复杂。泡利不相容原理指出，两个电子不能处于相同的状态，即一个电子轨道上，只能同时容纳两个电子（正向与反向）。泡利不相容原理成功的解释了许多化学反应的基本原理，但这个理论同样也有唯象理论的通病：没有办法解释现象背后的根本原因。

除此之外，崭新的量子论面临着更大的问题。。1925年，为了解释谱线在在弱磁场下的一种复杂分裂——“反常塞曼效应”，科学家提出了电子自旋理论，然而这种理论要求引入一个1/2的量子数 ，这是玻尔模型所没有给出预测的。同时，玻尔也发现了他的理论只能解决单电子的原子，如氢原子，一级电离的氦原子。然而，对多电子原子，玻尔模型无法给出任何有用的结论。

玻尔是立足于经典物理理论建立原子模型的。在从经典到量子的转化过程中，玻尔理论不能解释为何在宏观条件下成立的经典理论，在围观的原子层面就必须加入量子化的条件。玻尔的理论终究只是经典理论向量子模型所做出的妥协。实验表明，旧量子论这一基于经典理论的修正无法解释所有的物理现象，物理学必须要有一个崭新的范式作为基石继续前进。